计算纸牌屋中的纸牌数量

Question

背景故事：

所以我儿子随机来找我，问我如何写一个代数 (?) 表达式来计算根据指定的级别数制作一个纸牌屋需要多少张纸牌。我相当肯定这实际上不是一个家庭作业问题。如果他需要帮助，他通常会向我展示工作表。

“假设”是

a) 每层之间有水平放置的卡片，用于支撑；一张卡作为两个“高峰”之间的“桥梁” b) 最低（地面）层下面没有任何水平卡片，因为地板/桌子本身就是支撑。

例如，单层只有 2 张卡片：/\

再举个例子：3层一共15张卡片（请见谅我的烂图！）

   /_\
 /_\ /_\
/ \/ \/ \

嗯，我不擅长这种事情。我只知道基本代数，但我想认为自己是一个相当体面的（但不是“专业”）程序员。但无论如何，对于一个纯粹的代数公式，我无法想出一个公式来计算 所有 卡片，但我确实设法想出了一个计算给定层的卡片数量的公式，基于以上假设：2v + (v - 1)

嗯，可能有一个更好/更简化的方程式，同样，这仅适用于给定的层，而不是所有层。因此例如第 1 层（顶层），v=1，因此卡片数量为 2。或者对于第 3 层，v=3，因此卡片数量为 8（因此此公式计算水平支撑作为给定层的一部分）。

而且.. 这就是我对纯代数的理解。然而！使用一些计算机代码（我使用的是 javascript），我能够根据上述等式创建一个函数，以返回卡片的数量：

function getNumHouseCards(layers) {
    var layers = layers || 1;
    var cards = 0;
    for (var v = 1; v <= layers; v++) {
        cards += (2 * v) + (v - 1);
    }
    return cards;
}

与函数的返回值相比，我做了一些手动计数卡，这似乎是合法的，所以我应该很高兴，但是..我觉得这可以做得更好。所以..

问题：

如何改进？我想首先， 有没有办法只用代数表达式来写这个，或者真的需要编码来回答这样的问题？在任何一种情况下，我都觉得我把它弄得太复杂了（好吧，至少我做的那部分..）

Answer 1

这个表达式涵盖了它：

（y代表卡数，x代表层数）

---

在 JavaScript 中实现，并将输出与您的方法的输出进行比较：

function yourNumberOfCards(layers) {
    var layers = layers || 1;
    var cards = 0;
    for (var v = 1; v <= layers; v++) {
        cards += (2 * v) + (v - 1);
    }
    return cards;
}

function myNumberOfCards(layers) {
  return (3 * Math.pow(layers, 2)) / 2 + (layers / 2);
}

for (let i = 1; i <= 10; i++) {
  const yours = yourNumberOfCards(i);
  const mine = myNumberOfCards(i);
  
  console.log(yours + (yours === mine ? " == " : " != ") + mine);
}

我是怎么到那里的？我计算了前几个值，然后在WolframAlpha 上运行多项式插值。

Answer 2

所有这些 cmets 都是很好的反馈，但它们中的大多数在 2 或 1 处都有缺陷。这个等式有效，但您需要了解 sigma，所以查一下，这有效。

               x-1.         x-1
           Y=(2sigma x+1)+(sigma x+1)-x
               n=0.         n=0

这意味着你添加了x to x-1 and addition of this to x-2等。

直到你达到零并将其乘以二。这将找到交叉卡的卡数。另一部分查找平面卡的卡。它通过添加x+x-1+x-1 等来做到这一点。

直到像顶部一样达到零，然后减去x，因为随着层数的增加，您将不得不从每个平面层中取出一张卡片，并且由于x是层数，因此每次都有效.

Answer 3

I am not sure about the algebraic formula but got a pattern

start = 2 (basic 1 level) then as and how you need to increase a level the extra cards will be 5 (level 2) so total is 5+2=7, then for level 3 you need 8(level 3) cards extra from level 2 that would be 7+8=15. So summing up we can write this, basically it forms a simple progression. we need to find the sum of progression. Here is a formula for number of cards for a given height or level,

    2 + ((10+(n-1)3)*(n/2))

    where n is the level or height.

example : level 1, n=1 => 7

  /_\  -> level 1
 /\ /\ -> level 0

example : level 2, n=2 => 15

  /_\     -> level 2
 /_\/_\   -> level 1
/ \/ \/ \ -> level 0