在 MATLAB 中，默认情况下变量真的是双精度的吗？

Question

这个问题源于我在进一步调查this question 后注意到的一些奇怪的事情......

我一直认为 MATLAB 变量默认为 double-precision。因此，如果我要执行类似声明小数点后 20 位的变量之类的操作：

>> num = 2.71828182845904553488;
>> class(num)  % Display the variable type
ans =
double

我希望最后 4 位数字被忽略，因为 floating-point relative accuracy 大约为 10^-16：

>> eps(num)
ans =
    4.440892098500626e-016

如果我尝试显示小数点后超过 16 位的数字（使用 fprintf 或 sprintf），我会得到预期的结果：

>> fprintf('%0.20f\n', num)
2.71828182845904550000
>> sprintf('%0.20f', num)
ans =
2.71828182845904550000

换句话说，数字 17 到 20 都是 0。

但是当我将num 传递给Symbolic Toolbox 中的variable precision arithmetic function 时，事情变得很奇怪，告诉它使用21 位精度来表示数字：

>> vpa(num, 21)
ans =
2.71828182845904553488

什么？！最后 4 位数字又出现了！当我输入的原始数字存储为双精度变量num 时，它们不应该丢失吗？由于num 传递给vpa 时是双精度变量，那么vpa 怎么知道它们是什么？

我对正在发生的事情的最佳猜测是，MATLAB 在内部表示 num 的精度比双精度更高，因为我将它初始化为一个数字，其小数点后的位数比双精度变量可以处理的多。这真的是正在发生的事情，还是发生了其他事情？

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奖励：如果您还没有上述偏头痛，这里还有一个令人困惑的来源......

>> num = 2.71828182845904553488;  % Declare with 20 digits past the decimal
>> num = 2.718281828459045531;    % Re-declare with 18 digits past the decimal
>> vpa(num, 21)
ans =
2.71828182845904553488  % It's the original 20-digit number!!!

Answer 1

他们是双打。 vpa() 只是选择显示超出浮点相对精度的非有效数字，其中 printf() 和 disp() 将它们截断或归零。

你只得到你原来的四位数，因为你选择初始化num的文字恰好是二进制双精度值的精确十进制扩展，因为它是从输出的复制和粘贴的从另一个问题扩展实际的双精度值。正如您在“BONUS”附录中显示的那样，它不适用于附近的其他值。

更准确地说，Matlab 中的所有数字文字都会产生 double 类型的值。它们被转换为最接近它们所代表的十进制值的二进制双精度值。实际上，文字中超出 double 类型精度限制的数字会被静默删除。当您复制并粘贴 vpa 的输出以创建新变量时，就像另一个问题的海报对 e = ... 语句所做的那样，您是从文字初始化一个值，而不是直接处理前一个的结果表达。

这里的区别只是输出格式。我认为正在发生的事情是vpa() 正在采用双精度二进制双精度并将其视为精确值。对于给定的二进制尾数指数值，您可以计算出相当于任意多个小数位的小数。如果二进制值的精度（“宽度”）有限，就像使用任何固定大小的数据类型一样，那么这些十进制数字中只有这么多是有效的。 printf() 和 Matlab 的默认显示通过截断输出或将非有效数字显示为 0 来处理此问题。vpa() 忽略了精度限制，并继续根据您的要求计算尽可能多的小数位。

这些额外的数字是虚假的，如果它们被其他值替换以产生附近的十进制值，它们都会被“四舍五入”到相同的二进制双精度值。

这是一种展示方式。 x 的这些值在存储为双精度时都是相同的，并且都将由vpa() 表示。

x = [
    2.7182818284590455348848081484902650117874145507812500
    2.7182818284590455348848081484902650117874145507819999
    2.7182818284590455348848
    2.71828182845904553488485555555555555555555555555555
    exp(1)
    ]
unique(x)

这是展示它的另一种方式。这是两个非常接近的双打。

x0 = exp(1)
x1 = x0 + eps(x0)

vpa(x0) 和 vpa(x1) 产生的输出在第 16 位之后应该会有很大的不同。但是，您不应该能够创建一个双精度值 x 以使 vpa(x) 生成介于 vpa(x0) 和 vpa(x1) 之间的十进制表示。

（更新：Amro 指出您可以使用 fprintf('%bx\n', x) 以十六进制格式显示底层二进制值的精确表示。您可以使用它来确认文字映射到相同的双精度。）

我怀疑vpa() 之所以这样做是因为它将其输入视为精确值，并且多态支持符号工具箱中的其他 Matlab 类型，这些类型的精度高于双精度。这些值需要通过数字文字以外的方式进行初始化，这就是为什么sym() 将字符串作为输入并且vpa(exp(1)) 不同于vpa(sym('exp(1)'))。

有意义吗？抱歉啰嗦了。

（请注意，我没有符号工具箱，所以我无法自己测试vpa()。）

Answer 2

第一：

似乎 sprintf 和 fprintf 在不同版本的 MATLAB 上具有不同的行为 例如在 MATLAB 2018 a

num=2.7182818284590666666666;    
sprintf('%0.70f', num)
ans =
'2.7182818284590668511668809514958411455154418945312500000000000000000000'

秒：

浮点数

MATLAB® 以双精度或单精度格式表示浮点数。默认为双精度，但您可以通过简单的转换函数将任意数字设为单精度。

双精度浮点

MATLAB 根据 IEEE® 标准 754 为双精度构造双精度（或双精度）数据类型。任何存储为双精度值的值都需要 64 位，格式如下表所示：

位：63
用法：符号（0 = 正，1 = 负）

位：62 到 52 用法：指数，偏差 1023

位：51 到 0 用法：数字 1.f 的分数 f

refer to this link for more info

在 252=4,503,599,627,370,496 和 253=9,007,199,254,740,992 之间，可表示的数字恰好是整数。对于下一个范围，从 253 到 254，所有内容都乘以 2，因此可表示的数字是偶数等。相反，对于上一个范围从 2^51 到 2^52，间距为 0.5，等等。

作为从 2^n 到 2^n+1 范围内的数字的一部分，间距是 2^n−52。因此，将数字舍入到最接近的可表示值（机器 epsilon）时的最大相对舍入误差为 2^-53。

所以在你的情况下 n=1 (2^1

我认为可以安全地假设用于显示数字的 sprintf 和 sprintf 算法很棘手，并且 MATLAB Double 类型基于 IEEE 标准，

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关于VPA：

vpa 使用保护数字来保持精度

digits 函数的值指定使用的有效数字的最小数量。在内部，vpa 可以使用比数字指定更多的数字。这些额外的数字被称为保护数字，因为它们可以防止后续计算中的舍入错误。

使用四位有效数字近似为 1/3。

a = vpa(1/3, 4)
a =
0.3333

使用 20 位近似结果 a。结果表明，工具箱内部在计算 a 时使用了多于四位数。由于舍入误差，结果中的最后一位数字不正确。

vpa(a, 20)
ans =
0.33333333333303016843

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你可能遇到的问题是因为间距、高德数字算法和四舍五入问题，

例如使用matlab 2018 a：

 sprintf('%0.28f', 8.0)
 ans =
 '8.0000000000000000000000000000'

但是：

sprintf('%0.28f', 8.1)
ans =
'8.0999999999999996447286321199'

因为数字在 2^3 和 2^4 之间所以间距是 2^-49 (= 1.77 e-15) 所以该数字有效到小数点后 15 位 和

sprintf('%0.28f', 64.1)
ans =
'64.0999999999999943156581139192'

因为数字在 2^6 和 2^7 之间所以间距是 2^-46 (= 1.42 e-14) 所以这个数字一直有效到小数点后 14 位