鸡尾酒会算法 SVD 实现......在一行代码中？

Question

在斯坦福大学的 Andrew Ng 在 Coursera 的机器学习介绍性讲座中的一张幻灯片中，鉴于音频源是由两个空间分离的麦克风记录的，他给出了以下一行 Octave 解决方案来解决鸡尾酒会问题：

[W,s,v]=svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');

幻灯片底部是“来源：Sam Roweis、Yair Weiss、Eero Simoncelli”，之前幻灯片底部是“音频剪辑由 Te-Won Lee 提供”。在视频中，吴教授说，

“所以你可能会看到这样的无监督学习并问，‘实现它有多复杂？’似乎为了构建这个应用程序，似乎要做这个音频处理，你会编写大量代码，或者可能链接到一堆处理音频的 C++ 或 Java 库。看起来这将是一个真正的制作这个音频的复杂程序：分离音频等等。结果证明算法可以做你刚刚听到的事情，只需一行代码就可以完成......显示在这里。确实花了研究人员很长时间想出这行代码。所以我并不是说这是一个简单的问题。但事实证明，当你使用正确的编程环境时，许多学习算法将是非常短的程序。”

视频讲座中播放的分离音频结果并不完美，但在我看来，令人惊叹。有没有人知道那一行代码如何表现得如此出色？特别是，有谁知道解释 Te-Won Lee、Sam Roweis、Yair Weiss 和 Eero Simoncelli 就这一行代码所做的工作的参考资料？

更新

为了演示算法对麦克风分离距离的敏感性，以下模拟（在 Octave 中）将音调从两个空间分离的音调发生器中分离出来。

% define model 
f1 = 1100;              % frequency of tone generator 1; unit: Hz 
f2 = 2900;              % frequency of tone generator 2; unit: Hz 
Ts = 1/(40*max(f1,f2)); % sampling period; unit: s 
dMic = 1;               % distance between microphones centered about origin; unit: m 
dSrc = 10;              % distance between tone generators centered about origin; unit: m 
c = 340.29;             % speed of sound; unit: m / s 

% generate tones
figure(1);
t = [0:Ts:0.025];
tone1 = sin(2*pi*f1*t);
tone2 = sin(2*pi*f2*t);
plot(t,tone1); 
hold on;
plot(t,tone2,'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -1 1]); legend('tone 1', 'tone 2');
hold off;

% mix tones at microphones
% assume inverse square attenuation of sound intensity (i.e., inverse linear attenuation of sound amplitude)
figure(2);
dNear = (dSrc - dMic)/2;
dFar = (dSrc + dMic)/2;
mic1 = 1/dNear*sin(2*pi*f1*(t-dNear/c)) + \
       1/dFar*sin(2*pi*f2*(t-dFar/c));
mic2 = 1/dNear*sin(2*pi*f2*(t-dNear/c)) + \
       1/dFar*sin(2*pi*f1*(t-dFar/c));
plot(t,mic1);
hold on;
plot(t,mic2,'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -1 1]); legend('mic 1', 'mic 2');
hold off;

% use svd to isolate sound sources
figure(3);
x = [mic1' mic2'];
[W,s,v]=svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');
plot(t,v(:,1));
hold on;
maxAmp = max(v(:,1));
plot(t,v(:,2),'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -maxAmp maxAmp]); legend('isolated tone 1', 'isolated tone 2');
hold off;

在我的笔记本电脑上执行大约 10 分钟后，模拟会生成以下三个数字，说明两个孤立音具有正确的频率。

但是，将麦克风间隔距离设置为零（即 dMic = 0）会导致模拟生成以下三个数字，说明模拟无法隔离第二个音调（由 svd 的 s 中返回的单个有效对角项确认矩阵）。

我希望智能手机上的麦克风间隔距离足够大以产生良好的效果，但将麦克风间隔距离设置为 5.25 英寸（即 dMic = 0.1333 米）会导致模拟生成以下结果，这并不令人鼓舞，图示说明了第一个孤立音调中的较高频率成分。

Answer 1

2 年后，我也试图弄清楚这一点。但我得到了答案；希望它会帮助某人。

您需要 2 段录音。您可以从http://research.ics.aalto.fi/ica/cocktail/cocktail_en.cgi 获取音频示例。

实施参考是http://www.cs.nyu.edu/~roweis/kica.html

好的，这是代码-

[x1, Fs1] = audioread('mix1.wav');
[x2, Fs2] = audioread('mix2.wav');
xx = [x1, x2]';
yy = sqrtm(inv(cov(xx')))*(xx-repmat(mean(xx,2),1,size(xx,2)));
[W,s,v] = svd((repmat(sum(yy.*yy,1),size(yy,1),1).*yy)*yy');

a = W*xx; %W is unmixing matrix
subplot(2,2,1); plot(x1); title('mixed audio - mic 1');
subplot(2,2,2); plot(x2); title('mixed audio - mic 2');
subplot(2,2,3); plot(a(1,:), 'g'); title('unmixed wave 1');
subplot(2,2,4); plot(a(2,:),'r'); title('unmixed wave 2');

audiowrite('unmixed1.wav', a(1,:), Fs1);
audiowrite('unmixed2.wav', a(2,:), Fs1);

Answer 2

x(t) 是来自一个通道/麦克风的原始声音。

X = repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x' 是对x(t) 的功率谱的估计。虽然X' = X，但行和列的间隔根本不一样。每一行代表信号的时间，而每一列是频率。我想这是对更严格的表达式spectrogram 的估计和简化。

频谱图上的Singular Value Decomposition用于根据频谱信息将信号分解为不同的分量。 s 中的对角线值是不同频谱分量的幅度。 u 中的行和v' 中的列是正交向量，将对应幅度的频率分量映射到X 空间。

我没有要测试的语音数据，但据我了解，通过 SVD，落入相似正交向量的组件有望在无监督学习的帮助下进行聚类。假设，如果来自 s 的前 2 个对角线幅度被聚类，则 u*s_new*v' 将形成一个人的声音，其中 s_new 与 s 相同，除了 (3:end,3:end) 处的所有元素都被消除了。

关于sound-formed matrix和SVD的两篇文章供大家参考。