找到一组二次方程的解答案

【问题标题】：Find solutions for a set of quadratic equations找到一组二次方程的解
【发布时间】：2017-08-06 10:34:25
【问题描述】：

我有一组二次方程，比如

x² + x + y = 7
x + 3y = -3
y² + x² + z = 11

所有系数都是整数。这组方程要么没有解，要么是一整套解的一个解。

有人知道找出这些方程是否有解的方法吗？

我的第一个想法是逐个求解这些方程，并使用结果来求解其他方程。问题在于舍入误差：理论上，如果我有两个方程

x + y = 5
x = 5 - y

会有很多解决方案。但是如果我的方法导致

x + y = 4.999999
x = 5 - y

系统突然无解。在下一步中，我可以添加 epsilon 来补偿舍入误差，但我不确定它们应该有多大。有什么想法或更好的方法吗？

PS：背景是在平面上寻找一组复杂的圆和线的交点。

【问题讨论】：

您可以尝试使用BigDecimal 来消除精度错误（尽管您需要确定一个常见的最大精度）或将这些值与某个 epsilon 进行比较，例如 boolean equal = Math.abs(4.999 - 5) > 0.0001;。后一种方法通常用于几何应用中，例如碰撞检测等。在这些应用中，结果需要在数值上保持稳定，同时尽可能降低精度。
epsilon 值是您的交点的精度，因此在您的情况下，每条曲线/曲面上最近点的最大距离被视为交点（同一点）通常设置为最小的一小部分您的形状中的细节....或像素大小的一小部分（如果渲染等）...但要注意使用它的哪个功能...例如，如果您有线x+c0.y = c1，那么您使用eps^1 ，但对于圆圈@ 987654329@ 你使用eps^2 所以你在方程之间仍然有相同的单位/公制。我解决了How approximation search works

【解决方案1】：

由于您有精确的整数输入，因此您可以使用精确算法。例如，您可以计算与您的方程相对应的多项式的Groebner basis，例如

x² + x + y - 7
x + 3y + 3
y² + x² + z - 11

通过术语的字典顺序，您将获得一种“三角形”形式的 Groebner 基，其中第一个多项式包含尽可能少的变量，例如

81z² - 176z + 92
2y + 9z - 8
2x - 27z + 30

一旦 z 固定，这将为您提供 z 的两个实根和 y 和 x 的唯一值。如果计算基础的第一个多项式不包含变量，则您的方程组没有任何解。如果计算基数中的第一个多项式包含两个变量，则您有无限数量的解（可能很复杂）。

您可以使用 Wolfram Alpha 在线试验 Groebner 碱基（例如compute the basis for your example）。可以使用Buchberger algorithm 计算 Groebner 基，Java 中提供了一些实现。

注意：Buchberger 算法的最坏情况复杂度是输入的最大总度数的双指数，但在您的应用程序中这可能无关紧要。

【讨论】：