确定多边形顶点之间的线段是否为“内部”多边形答案

【问题标题】：Determine if Line Segment Between Polygon Vertices is "Inside" Polygon确定多边形顶点之间的线段是否为“内部”多边形
【发布时间】：2021-05-28 03:23:21
【问题描述】：

我正在尝试找到一种有效的算法，该算法可以检查简单（编辑：简单凹面）多边形中两个顶点之间的线是否包含位于多边形域之外的点。我能找到的最接近的问题是这个：https://stackoverflow.com/a/36378838/12135804

但我不确定答案是否完全正确。可能是这样，在这种情况下，如果有人能澄清一下，那就太好了。

基本思想如下图所示：

我希望红线失败而绿线成功。我知道不能天真地测试中点，因为这在每种情况下都不起作用，但是在多边形域之外的线上找到任何点都应该取消它的资格。

感谢所有帮助！

编辑：忘记包含数学堆栈交换的交叉链接： https://math.stackexchange.com/q/4040059/892519

【问题讨论】：

你的意思是“凸包”吗？搜索那个，这是一个已解决的问题。 ;)
不，编辑得更清楚。这适用于凹多边形。上述算法不会真正应用于凸多边形，因为两个顶点之间的任何线都会自动位于多边形内。话虽如此，它在技术上仍然适用于凸多边形，因为我不介意作为多边形一部分的线。
在非常接近线端点的点上进行 hit test（稍微向内移动到线中心），所以如果线是 AB，那么测试点 C = A + 0.000001*(B-A) ...
我认为这可行，因为这两个点都可以进行多边形点测试，如果一个失败则宾果游戏。

标签： algorithm geometry polygon computational-geometry line-segment

【解决方案1】：

假设最上面的点是A，其他点的名称是B、C ...逆时针方向，所以我们知道我们在说什么。

如果您选择红色部分B-D，则中间的一点在左侧。如果您选择绿色部分D-F，则中间的一点在右侧。现在，更有趣的部分是B-E，其中C 位于左侧，D 位于右侧。

为了确定左右，使用向量积。长度取决于sin 函数，所以如果你得到一个小于零的值，它是一侧，大于零是另一侧。

【讨论】：

我没有提到红色和绿色线段的顺序不能保证与其余点一致。我认为如果没有这个假设，叉积不再是一个好的测试（虽然我可能错了）。此外，我不确定中点在一般情况下是否成立，因为它会因锯齿状但几何上简单的多边形而失败。在这种情况下，中点可能在内部。我应该选择一张更好的图片来说明这一点 - 我很抱歉！

【解决方案2】：

在谷歌搜索很多之后，我终于找到了大约 12 年前的一个 stackoverflow 问题的答案：https://stackoverflow.com/a/693877/12135804

假设多边形中的边遵循一定的顺序，可以使用线的起点 (p) 创建简单的 ccw 测试，从该起点开始的多边形中的下一个 ccw 点作为拐点 (q)，以及线 (r) 的端点。对于红线BD，测试将检查 B、C、D 是否为 ccw（不是）。对于绿线DF，测试 D、E、F 是否为 ccw（它是！）。即使这些点是不连续的，这也会起作用。但是，当红绿线的顺序颠倒时，这将失败。例如，如果红线变为DB，则测试将检查 D、E、B，这将通过 ccw 测试。

我认为更稳健的解决方案是在凹多边形中搜索两条边，它们共享要测试的线的端点。对于这两对，计算两条边与 x 轴之间的角度。还要计算直线与 x 轴的角度。如果线在多边形内，则线的角度应介于两个端点的多边形边角的最大值和最小值之间。

我认为，是否测试钝角或锐角范围取决于一些因素。红线在B w.r.t 处的角度。到 x 轴将在 AB 和 BC 之间的钝角边界内，在点 C 也是如此。从视觉上看，很明显锐界是两个点的最大/最小测试需要使用的。如果可以从逻辑上选择计算边界的基线，则可以完成。

当然，如果线在两个端点之间的途中越过多边形外部，这将不起作用，但这确实可以处理正常线-多边形相交测试的退化情况。假设它适用于所有退化的情况，也就是说。

我不会将此标记为答案，因为我无法证明它。

编辑：好吧，我又回来思考这个问题，并决定搜索类似于我上面提出的角度边界的问题，并找到了这个：https://stackoverflow.com/a/17497339/12135804

这个答案满足不知道线的方向！但是，它假定应该测试A 和B 之间的最小界限。这不适用于凹顶点，当 AxB A 和 B 共享的顶点的线如果指向多边形外部，则返回 true，反之则返回 false如果它在里面。不过，我认为根据AxB 的符号翻转结果应该足以说明这一点。（在此相关答案中验证的预感：https://stackoverflow.com/a/43384516/12135804）

【讨论】：