查找由两个列表组成的产品集

Question

给定两个列表，假设 A = [1, 3, 2, 7] 和 B = [2, 3, 6, 3]

找出可以通过将 A 中的数字与 B 中的数字相乘来形成的所有产品的集合。（通过集合，我的意思是我不想要重复）。我正在寻找最快的运行时间。 不允许使用哈希函数。

第一种方法是蛮力，我们将 A 中的每个数字与 B 中的每个数字相乘，如果我们找到一个不在列表中的产品，则将其添加到列表中。查找所有可能的产品将花费O(n^2)，并且要验证该产品是否已经存在于列表中，我将花费O(n^2)。所以总数达到O(n^4)。

我正在寻求优化此解决方案。我想到的第一件事是删除列表 B 中的重复项。在我的示例中，我有 3 个作为重复项。我不需要再次计算 A 中所有元素与重复 3 的乘积。但这仍然无助于减少整体运行时间。

我猜如果 A 和 B 中的所有数字组合起来都是唯一的 AND 素数，那么最快的运行时间可能是 O(n^2)。这样可以保证不会有重复，我不需要验证我的产品是否已经出现在列表中。所以我在想我们是否可以预处理我们的输入列表，以保证产品价值的唯一性（预处理的一种方法是像我上面提到的那样删除列表 B 中的重复项）。

这在O(n^2) 时间是否可行？如果我只关心可能的唯一产品的数量而不是实际产品的数量，这会有所不同吗？

for i = 1 to A.length:
    for j = 1 to B.length:
        if (A[i] * B[j]) not already present in list: \\ takes O(n^2) time to verify this
            Add (A[i] * B[j]) to list
        end if
    end for
end for

print list

上述输入的预期结果：2、3、6、9、18、4、12、14、21、42

编辑：

我可以想到一个O(n^2 log n) 的解决方案：

1) 我生成所有可能的产品值而不用担心重复\这是O(n^2)

2) 对这些产品值进行排序\这将是O(n^2 log n)，因为我们有 n^2 个数字要排序

3) 由于元素现在已排序，因此在线性时间内删除重复项

Answer 1

使用集合消除重复。

    A=[3, 6, 6, 8]
    B=[7, 8, 56, 3, 2, 8]
    setA = set(A)
    setB = set(B)
    prod=set()  #empty set

    [prod.add(i*j) for i in setA for j in setB]
    print(prod)
    {64, 448, 6, 168, 9, 42, 12, 16, 48, 18, 336, 21, 24, 56}

复杂度为 O(n^2)。

另一种方法如下。 O(n^3) 复杂度

 prod=[]
    A=[1,2,2,3]
    B=[5,6,6,7]

    for i in A:
              for j in B:
                  if prod==[]:
                      prod.append(i*j)
                      continue
                  for k in range(len(prod)):
                    if i*j < prod[k]:
                     prod.insert(k,i*j)
                     break
                    elif i*j == prod[k]:
                     break
                    if k==len(prod)-1:
                     prod.append(i*j)
    print(prod)

另一种方式。这可能是在内部使用哈希函数。

   from toolz import unique
    A=[1,2,2,3]
    B=[5,5,7,8]
    print(list(unique([i*j for i in A for j in B])))