在每次迭代中产生 n - (i + 2) 次函数调用的递归函数的时间复杂度是多少？

Question

我正在研究一个名为 house robber 的 DP 问题，我已经使用 DP 方法解决了这个问题，但我最初的想法是使用以下递归函数：

def rec(self, start, possible):
        if len(possible) == 0:
            return start
        
        money = start
        for i, num in enumerate(possible):
            nextMoney = self.rec(start + num, possible[i+2:])   
            money = max(money, nextMoney)
            
        return money
            
            
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        # Base Case
        if(len(nums) == 0):
            return 0
        elif len(nums) == 1:
            return nums[0]
        
        path1 = self.rec(nums[0], nums[2:])
        path2 = self.rec(nums[1], nums[3:])
        
        # Recursion
        return max(path1, path2)

我的 DP 解决方案是 O(n)，但我正在努力确定上述算法的时间复杂度。我的直觉说它的指数顺序为 log(n) = O(n ^ log (n))

如果有人能在这里指出正确的方向，我将不胜感激。谢谢。

问题供参考：https://leetcode.com/problems/house-robber/

Answer 1

代码枚举 1..n 的所有子集，没有两个相邻的数字。您对possible 进行了大量切片，这会产生每次调用的 O(n^2) 成本，因此递归关系为：

T(n) = n^2 + sum(T(i) for i=0..n-2)

从 T(n-1) 中减去 T(n)：

T(n) - T(n-1) = n^2 - (n-1)^2 + T(n-2)
T(n) = 2n - 1 + T(n-1) + T(n-2)

让U(n) = T(n) + 2n + 5，所以T(n) = U(n) - 2n - 5。替换 T(n)、T(n-1) 和 T(n-2) 我们得到：

U(n) - 2n - 5 = 2n - 1 + U(n-1) - 2(n-1) - 5 + U(n-2) - 2(n-2) - 5
U(n) = U(n-1) + U(n-2) (simplifying)

所以 U(n) = Fib(n)（即：斐波那契数），并且 T(n) = Fib(n) - 2n - 5。

所以你的运行时是 Theta(Fib(n))，也就是 Theta(phi^n)，其中 phi 是黄金分割率。

[有趣的一点是，如果您删除了导致每次调用成本为 O(n^2) 的列表切片，那么您的代码的复杂性等级将是相同的——切片的成本会以指数形式丢失代码成本]。