有效查询整数数组中范围的相等性

Question

给定一个大小为n 的正整数数组，它期望找出两个范围是否在查询相等时给出。如果范围 1 中存在的所有元素都存在于范围 2 中并且计数相同，则认为两个范围相等。

例子：

1 2 5 3 5 1 2

查询：

[1,3] and [5,7]
[2,4] and [3,5]

答案：

Yes
No

可以通过以下方式提出一个简单的解决方案：
1. 对于每个查询，制作存储每个范围 O(n) 的数组的两个副本。
2. 然后对它们中的每一个进行排序。 O(n*logn)
3. 然后逐个元素比较，返回true或false。 O(n)

所以解决方案的复杂度是O(q*n*logn)，其中q 是查询的数量。是否有可能有效地解决这个问题？

PS：所有变量n、q和数组元素的约束为<=10^5。

Answer 1

虽然可能还有其他方法可以解决这个问题，但下面的方法可以很好地在 O(N) 中解决这个问题。 （如果查询出现 x 次，则 O(xN) 可以通过缓存查询结果来优化，只是查询范围及其结果）

为了方便起见，我们将查询中的开始和结束元素命名为 range1StartIndex、range2StartIndex、range1EndIndex 和 range2EndIndex。

1. 查看两个范围的结束元素和开始元素之间的差异是否不相等，则返回“否”，否则进入下一步。

（如果两个范围的差值相等，那么我们需要处理数组元素）。

1. 初始化一个HashMap，我们把它命名为countMap。从range1StartIndex 到range1EndIndex 迭代数组并放入map 作为遇到的每个字符的条目及其出现的总数。进入下一步。

2. 从range2StartIndex 到range2EndIndex 迭代数组。当遇到一个字符时，查看它是否存在于countMap 中。如果它不存在或它的计数为 0，则返回“No”。如果存在，则将计数减一并移至下一步。

3. 迭代countMap的keys，如果任何key的count大于1，返回“No”，否则进入下一步。

4. 返回“是”。出口。

Answer 2

好的，让我们从数组开始：1 2 5 3 5 1 2

这个数组有四个不同的元素（我们称这个数字为d），我们可以像这样预先计算四个列表：

D[1]: 1 1 1 1 1 2 2
D[2]: 0 1 1 1 1 1 2
D[3]: 0 0 0 1 1 1 1
D[5]: 0 0 1 1 2 2 2

这些包含到该点为止遇到的每个不同元素的数量。这个列表的大小显然是d*n。

完成后，对于每个查询，您可以通过计算 D[E][y]-D[E][x]) 来简单地检查 (x,y) 范围内每个不同元素 E 的数量。如果所有不同元素的差异相同，则两个范围将包含完全相同的元素。

显然，如果与n 相比，不同元素的数量相对较少，则此解决方案效果最佳，每次查询的成本为O(distinct values)。

我还省略了一些相当简单的优化，例如如果两个范围的长度不相等，或者如果发现任何差异不同，则提前退出。

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更新：

您也可以像这样存储相同的地图：

D'[1]: 0 5
D'[2]: 1 6
D'[3]: 3
D'[5]: 2 4

此地图仅包含原始 D[] 将更改的位置的索引。此映射的大小始终为n，但计算D[E][y] - D[E][x] 现在涉及二分查找，它仍然保持O(n) 最坏情况下的每次查询成本。

但它仍然不适合短距离查询，其中每个项目的幼稚比较会产生更好的结果。