使用自定义运算符进行高斯消除

Question

当运算符是自定义运算符而不是标准算术运算符时，实现高斯消元的好方法是什么？

这里是运算符：

加法：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0

减法：

0 - 0 = 0
0 - 1 = 1
1 - 1 = 0

乘法：

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1

部门：

0 / 0 = illegal
0 / 1 = 0
1 / 1 = 1

这是一组作为增广矩阵的示例方程，RHS 在最右边的列中：

1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1
0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1
0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1

这一套的解决方法是：

x1 = 1
x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
x5 = 1
x6 = 1
x7 = 1
x8 = 1
x9 = 0

我在这个集合上尝试过高斯消除失败。

方程将有 9、16、25 或 36 项。如果该算法很容易扩展到更大的正方形（最多 100 个），那就太好了。 我正在寻找一种算法，最好是伪代码或 JavaScript。

Answer 1

伪代码中的高斯消除算法可以找到here。

无论您是使用“普通”数字还是在 Z₂ 环中，算法都保持不变。

您可以做的是实现一个结构来保存您正在操作的值并重载所有必要的运算符。然后你需要做的就是将伪代码重写为你想要使用的语言。

不幸的是，由于您提到了 JavaScript，您无法覆盖该语言中的运算符，因此这将变得更加复杂。我想您可以定义将执行运算符工作并使用它们而不是标准运算符的函数。

function add(v1, v2) {
    if ((v1 != 0 && v1 != 1) || (v2 != 0 && v2 != 1)) {
        alert('Invalid params');
        return;
    }

    return (v1 + v2) % 2;
}

function subtract(v1, v2) {
    if ((v1 != 0 && v1 != 1) || (v2 != 0 && v2 != 1)) {
        alert('Invalid params');
        return;
    }

    return Math.abs((v1 - v2) % 2);
}

function multiply(v1, v2) {
    if ((v1 != 0 && v1 != 1) || (v2 != 0 && v2 != 1)) {
        alert('Invalid params');
        return;
    }

    return v1 * v2;
}

function divide(v1, v2) {
    if ((v1 != 0 && v1 != 1) || (v2 != 0 && v2 != 1)) {
        alert('Invalid params');
        return;
    } else if (v2 == 0) {
        alert('Divider cannot be zero');
        return;
    }

    return v1 / v2;
}

Answer 2

您所描述的并不是真正的自定义运算符。相反，它是标准加法和乘法模 2 的 Z₂。

这是field；所以你没有任何“分数”问题。

高斯消元算法不限于实数领域；它也适用于 Z₂。