我遇到了一款名为 Tower Breakers 的游戏，它似乎是 nim game 的变体。
n 塔，其中每个塔的高度为m，n 和m 均为正整数。x > 1 的塔并将其高度降低为正整数y，其中1 <= y < x 和y 均分x。有什么制胜策略吗？如果塔在开始时的高度不相等怎么办？
【问题讨论】：
标签： algorithm math game-theory nim-game
这确实可以像nim game 一样解决，但使用不同的 nimber 定义。
在最初的游戏中，塔的长度被简单地定义为它的高度。
在这个变体中，高 h(T) = x = p₁ˢ¹ … pₖˢᵏ 和 pᵢ 素数的塔的臂数为 T
n(T) = s₁ + … + sₖ
n 塔L = (T₁, …, Tₙ) 列表的数目是通常的
n(L) = n(T₁) ⊕ … ⊕ n(Tₙ)
如果你的回合开始时nimber为0，那么无论你做什么，你都会输掉，假设其他玩家玩得很好。
否则，你只需要做一个动作，使nimber变为零。
您可以这样做，因为如果n(L) > 0 有一个塔，我们假设它是Tₙ，这样n(Tₙ) ⊕ n(L) < n(L)。
存在这样的塔：n(L) 的最左边位是 1，这是因为某些塔 Tₙ 在该位位置有 1。执行n(Tₙ) ⊕ n(L) 你会杀死那个 1 并且不要改变n(Tₙ) 的更重要的位，因为它是n(L) 的最左边的位。所以n(Tₙ) ⊕ n(L) 更小。
那么你只需要将Tₙ修改为Tₙ'，这样n(Tₙ') = n(Tₙ) ⊕ n(L)就可以了
n(L') = n(T₁) ⊕ … ⊕ n(Tₙ') = n(T₁) ⊕ … ⊕ n(Tₙ) ⊕ n(L) = n(L) ⊕ n(L) = 0
此移动始终是可能的，例如将高度降低到x' = p₁ˢ¹ … pₗ₋₁ˢˡ⁻¹ pₗᵈ，使用l <= k 和0 < d <= sₗ，这样s₁ + … + sₗ₋₁ + d = n(Tₙ) ⊕ n(L)。 x' 按构造划分 x 和 x' < x，所以它们是不同的。
一旦nimber 为零，无论其他玩家做什么动作，都会影响该塔的nimber，然后xor n(L) 的总和将不再为零。然后你重复同样的策略。
在所有塔的高度相同的特殊情况下，
这实际上可以在不使用 nimbers 的情况下显示：
如果塔的数量是偶数，玩家 2 可以将它们成对分组。他想要保持的不变性是每对中的两座塔都具有相同的高度。每当玩家 1 移动时，这个变体就会中断。然后玩家 2 只需要对对中的另一个塔执行相同的移动（这将是一个有效的移动，否则玩家 1 不可能这样做）。最终所有的塔都会达到高度 1，玩家 2 将获胜。
如果有奇数个塔（高度 > 1），玩家 1 可以将最后一个塔的高度降低到 1。实际上，这就像消除那个塔一样。所以现在轮到玩家 2，但可玩塔的数量将是偶数。所以前面的情况适用，玩家 1 会赢。
你可以在以下sn-p中玩：
function nimber(num) {
var n = 0;
for (var i=2; i<=num; ++i)
while(num % i == 0) {
++n;
num /= i;
}
return n;
}
function change(tower, newHeight, oldHeight, txt) {
tower.textContent = newHeight;
totalNimber ^= tower.dataset.nimber;
tower.dataset.nimber = nimber(newHeight);
totalNimber ^= tower.dataset.nimber;
log.textContent += " " + txt + " the height of the " + tower.getAttribute('data-index')
+ "-th tower from " + oldHeight + " to " + newHeight + ".\n";
if (newHeight == 1) tower.removeEventListener('click', playerMove);
}
function end(txt) {
log.textContent += " " + txt;
playerMove = Function.prototype;
}
function prePlayerMove() {
log.textContent += "Your turn. nimber = " + totalNimber + ".\n";
for (var i=0; i<n; ++i) {
var height = +towers.children[i].textContent;
if (height != 1) return;
}
end("You lose");
}
function playerMove() {
var oldHeight = +this.textContent, newHeight;
while(!newHeight || newHeight <= 0 || oldHeight%newHeight || newHeight == oldHeight)
newHeight = +prompt("Current tower height is " + oldHeight + ". Enter new height");
change(this, newHeight, oldHeight, "You reduce");
pcMove();
}
function pcMove() {
log.textContent += "PC's turn (nimber = " + totalNimber + ").\n";
if (totalNimber == 0) { // Oh shit.
for (var i=0; i<n; ++i) {
var oldHeight = +towers.children[i].textContent;
if (oldHeight != 1)
for (var j=2; j<=oldHeight; ++j)
if (oldHeight % j == 0) {
var newHeight = oldHeight / j;
change(towers.children[i], newHeight, oldHeight, "PC reduces");
prePlayerMove();
return;
}
}
end("PC loses");
} else {
for (var i=0; i<n; ++i) {
var tower = towers.children[i];
var objective = tower.dataset.nimber ^ totalNimber;
if (objective < tower.dataset.nimber) {
var oldHeight = +tower.textContent;
var newHeight = oldHeight;
var nim = 0;
for (var j=2; j<=newHeight && nim<objective; ++j) {
while(newHeight % j == 0 && nim<objective) {
++nim;
newHeight /= j;
}
}
newHeight = oldHeight / newHeight;
if (nimber(newHeight) != objective) throw Error('Fatal error');
change(tower, newHeight, oldHeight, "PC reduces");
break;
}
}
prePlayerMove();
}
}
var n, m;
while(!Number.isInteger(n) || n < 0) n = +prompt("Number of towers");
while(!Number.isInteger(m) || m < 0) m = +prompt("Height of each tower");
var totalNimber = 0;
var towers = document.getElementById('towers');
var log = document.getElementById('log');
for (var i=0; i<n; ++i) {
var nim = nimber(m);
totalNimber ^= nim;
var tower = document.createElement('div');
tower.dataset.index = i+1;
tower.dataset.nimber = nim;
tower.textContent = m;
tower.addEventListener('click', playerMove);
towers.appendChild(tower);
}
pcMove();#towers > div {
display: inline-block;
border: 1px solid;
cursor: pointer;
margin: 5px;
padding: 5px;
}<div id="towers"></div>
<pre id="log"></pre>【讨论】：
这是 Tower Breakers（等高）的答案。
(N % 2 == 0) 且 M 不是 1，则第二个玩家获胜。(N % 2 == 1) 且 M 不为 1，则第一个玩家获胜。这是我的 C++ 代码。 （它被接受了）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Q, N, M;
int main() {
cin >> Q;
while(Q--) {
cin >> N >> M;
if(M == 1 || N % 2 == 0) cout << 2 << endl;
else cout << 1 << endl;
}
}
{4, 4, 4, 4} -> {2, 4, 4, 4}，第二个玩家可以移动{2, 4, 4, 4} -> {2, 2, 4, 4}。最终第二名玩家可以赚到{1, 1, 1, ..., 1}，所以第二名玩家可以获胜。【讨论】：
M 为 1，则两个玩家都无法移动，因此第二个玩家获胜。N为偶数(N % 2 == 0)且M不为1，则第二玩家的策略是复制第一玩家的动作，因此当所有塔高为1时第二玩家获胜。N 是奇数（N % 2 == 1）并且M 不是1：N-1），第二个
玩家成为第一个玩家，反之亦然。【讨论】：