减少平均差答案

【问题标题】：Reduce the Average difference减少平均差
【发布时间】：2014-10-17 21:15:28
【问题描述】：

两个数组 A,B 的长度相同（未排序）。将它们的条目配对（一个来自 A，一个来自 B），使得条目（|a1-b1|，|a2-b2|，....）的平均差异最小。

我曾想过对它们进行排序，然后制作成对的相同索引条目。这行得通吗？如果是，如何？其他一些有证据的解决方案。

【问题讨论】：

A 的每个元素是否都必须与 B 的唯一元素配对，以便使用所有 B？
是的，应该使用每个元素。

标签： arrays algorithm performance sorting

【解决方案1】：

编辑：误读了问题，下面描述了为什么当您以相反的顺序对两个列表进行排序时，差异之和最大化

这是查看您描述的算法为您提供最佳解决方案的另一种方法。请注意，当您写出|x - y| 时，它等于x - y 或y - x。因此，

|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n|

可以认为是对数字 a_1, ..., a_n, b_1, ... , b_n 求和，只是其中的 n 的符号被翻转了。显然，当您选择否定 a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n 中的最小数字 n 时，这将最大化。事实上，这正是您的算法所做的。

【讨论】：

哇！这是一个很好的和不同的方式来研究这个问题。谢谢！
@user3739969 这是一个简洁的证明，但它似乎在描述最大化差异总和而不是最小化的问题。
哎呀，你是绝对正确的。我误读了这个问题。我现在应该删除答案吗？
但我猜该方法也可以扩展至最低限度。

【解决方案2】：

我假设这个问题可以正式表述如下：给定两个 n 元素向量 A 和 B，找到 A 的排列 A' 和 B 的 B' 以最小化 A' - B 的 L1 范数'。

如果是这样，那么您提出的算法是正确的。假设我们有一个反转的解，即 a1 与 b2 匹配，a2 与 b1 匹配，使得 a1

|a1 - b2| + |a2 - b1| >= |a1 - b1| + |a2 - b2|,

不等式源于我们暂时搁置的不优雅的案例论证。因此，通过将 a1 与 b1 以及 a2 与 b2 重新匹配，我们减少了反转的数量而不增加成本。由归纳可知，没有反转的匹配是最优的。

案例论证：对称地（通过交换 A 和 B），存在三种可能的交错。

(1) a1 <= a2 <= b1 <= b2
(2) a1 <= b1 <= a2 <= b2
(3) a1 <= b1 <= b2 <= a2

在情况（1）中，

|a1 - b2| + |a2 - b1|  = b2 - a1 + b1 - a2
                       = b1 - a1 + b2 - a2
                       = |a1 - b1| + |a2 - b2|.

在情况（2）中，

|a1 - b2| + |a2 - b1|  = b2 - a1 + a2 - b1
                      >= b2 - a1 + a2 - b1 - 2 (a2 - b1)
                       = b1 - a1 + b2 - a2
                       = |a1 - b1| + |a2 - b2|.

在情况（3）中，

|a1 - b2| + |a2 - b1|  = b2 - a1 + a2 - b1
                      >= b2 - a1 + a2 - b1 - 2 (b2 - b1)
                       = b1 - a1 + a2 - b2
                       = |a1 - b1| + |a2 - b2|.

【讨论】：