洗牌算法的快速想法——这可行吗？

Question

我正在和我的兄弟们讨论一种快速而肮脏的算法，用于洗牌一副纸牌（即每个元素都是唯一的数组）。算法说明：

让牌组中的牌张数为n。取一个数字x，这样gcd(n,x)=1。现在迭代地为i=1 到i=n 挑选卡号(x*i) mod n 并将其放入新的牌堆中（无需从原来的牌组中取出牌，即复制卡）。新的牌堆就是我们的结果。

我似乎很清楚，仅执行一次该算法不会给出“足够随机”的结果（从某种意义上说，它将无法通过统计测试来确定随机性）。但是，如果我们迭代地执行算法，可能会得到一个新值x，它也满足gcd(n,x)=1？如果这样做足够多的次数会给我们一个“足够随机”的结果，那么作为n 的函数，我们预计需要执行多少次？

Answer 1

由于模算术的奇妙，多次执行它是不够的。事实上，您最多可以通过这种方式实现n 排列，而这正是n 是素数或1 的时候。

假设你要这样做两次，第一次x 与n 互质，第二次y 与n 互质。

第一次将位置p 的元素移动到p * x (mod n)。然后第二次移动到(p * x) * y (mod n)。这与将其移至 p * (x * y) (mod n) 相同，因为模算术具有关联性。但是如果 x * y = v (mod n) 则与将其移至 p * v (mod n) 相同——正如您所知，等价类不超过 n。

因此，最多有n 排列可以产生n-length 牌组。 （不，这不是一个严格的证明！）

编辑：

我曾声称，如果您改为使用模乘乘幂，它会更好。然而，经过额外考虑，许多琐碎的配置仍然会以相同的“最多n 排列”方式成为模运算的牺牲品。