我可以在带有负加权边缘的 DAG 上使用 Dijkstra 算法吗？答案

【问题标题】：Can I use Dijkstra's algorithm on DAG with negative weighted edges?我可以在带有负加权边缘的 DAG 上使用 Dijkstra 算法吗？
【发布时间】：2019-05-01 02:36:04
【问题描述】：

我知道 Dijkstra 的算法不能用于负权重边，因为它可能会弄乱云中已经存在的顶点的距离。

但是，如果有向图不包含循环，即有向无环图 (DAG)，该怎么办？我认为即使使用负加权边缘也可以使用 Dijkstra 算法来找到最小成本路径。

【问题讨论】：

参考这个cs.stackexchange.com/q/2482
如果有向图不包含循环，那么 Dijkstra 算法不会进入无限循环，但最短距离的结果可能不是最短的。

标签： algorithm graph dijkstra directed-acyclic-graphs bellman-ford

【解决方案1】：

不，当有负权重时不能使用。原因是它是一个贪心算法。一旦它选择了最小距离节点，它就不会重新考虑这个选择。负权重将允许算法后面的某个其他节点变低。

这是一个简单的反例：

start  -- 1 ----------> end
    |                    ^
    \ -- 2 --> x -- -3 --/

在这种情况下，算法会为您提供权重为 1 的直接路径，而不是通过权重为 -1 的节点 x 的较短路径。

【讨论】：

"原因是它是一个贪心算法。一旦它选择了最小距离节点，它就不会重新考虑这个选择。"事实上，确实如此。 Dijkstra 的大多数实现都有类似“if (dist[u] + weight[u][v]
@WeakestTopology 您忽略了“一旦选择了最小距离节点”部分。这个决定永远不会被重新考虑。
每次迭代都会选择一个最小距离节点，这不是问题。在您的示例中，它将以“start”开头，将“end”和“x”放入队列中，选择“end”，从队列中删除“end”，选择“x”，放松“end”并将其放入再次排队。它只会变慢。
这一行 "if (dist[u] + weight[u][v]
@WeakestTopology 这不是我理解 Dijkstra 算法的方式。

【解决方案2】：

一般来说，Dijkstra 算法不能用于绘制负边长的图形。但是，可能存在特殊情况。如果图中的所有负边都连接到起点（如果在无向图中翻转起点和终点，也适用于终点）。 Dijkstra 的算法也将提供最短路径。

原因是 Dijkstra 的算法总是选择与起始节点距离最小的边。核心部分是：在非负权重的情况下，在一条路径中添加更多边，这条路径只会增加（至少不会减少）。但是，如果引入负长度，在路径中添加更多边可能会导致路径长度减小。

在下面的例子中，如果你从 s 开始到 t，使用 Dijkstra 的算法，它是行不通的，因为 edge(v, t) 减少了路径的长度。

An example

但是，如果我们使用 Dijkstra 算法从 t 开始到 s，它将选择边缘 (v, t) 而不是 (s,t)，然后它会选择 (s, v)。它会起作用，因为只有入射到起始节点的边缘是负的，不会损害全局最短距离。在后面的迭代中，只会选择非负边，添加更多边肯定会增加长度。

一般来说，可以肯定地说，Dijkstra 的最短算法不适用于具有负边长的图。

【讨论】：

那个例子不是 DAG，就像 op 要求的那样。

【解决方案3】：

即使通过找到最低边权重（这将是具有负边的图中的最小负数）并添加一个数字，该数字是最低的绝对值，即使负边变为非负也不能使用该算法图中所有边的边权重

我很好奇使边缘为非负数是否可行。但它不会，this 其他 stackoverflow 答案消除了我的疑问。

【讨论】：