使用 DFS 进行图遍历

Question

我正在学习 Steven S. Skiena 的《算法设计手册》中的图遍历。在他的书中，他提供了使用 dfs 遍历图形的代码。下面是代码。

dfs(graph *g, int v)
{
       edgenode *p;
       int y;
       if (finished) return;
       discovered[v] = TRUE;
       time = time + 1;
       entry_time[v] = time;
       process_vertex_early(v);
       p = g->edges[v];
       while (p != NULL) {
            /* temporary pointer */
            /* successor vertex */
            /* allow for search termination */
            y = p->y;
            if (discovered[y] == FALSE) {
                parent[y] = v;
                process_edge(v,y);
                dfs(g,y);
            }
            else if ((!processed[y]) || (g->directed))
                 process_edge(v,y);
            }
            if (finished) return;
            p = p->next;
        }
        process_vertex_late(v);
        time = time + 1;
        exit_time[v] = time;
        processed[v] = TRUE;
}

在无向图中，看起来下面的代码正在处理边两次（调用方法 process_edge(v,y)。一次在遍历顶点 v 时，另一次在处理顶点 y 时）。
所以我在else if ((!processed[y]) || (g->directed)) 中添加了条件parent[v]!=y。
它只处理一次边缘。但是，我不确定如何修改此代码以使用并行边缘和自循环边缘。代码应处理并行边缘和自循环。

Answer 1

你是对的。

引用book's (2nd edition) errata：

(*) 第 171 页，第 -2 行 -- dfs 代码有一个错误，其中每个树边缘 在无向图中被处理两次。测试必须是 实力雄厚：

else if (((!processed[y]) && (parent[v]!=y)) || (g->directed))

关于周期 - 请参阅 here

Answer 2

简答：

用您的(parent[v]!=y) 替换 (!processed[y])，而不是将其添加到条件中。

详细解答：

在我看来，书中所写的实现存在一个错误，您发现并修复了该错误（平行边除外。更多内容见下文）。该实现应该对有向图和无向图都是正确的，它们之间的区别记录在 g->directed 布尔属性中。

在书中，作者在实现之前写道：

深度优先搜索的另一个重要特性是它将 无向图的边恰好分为两类：树边和后边。这 树边发现新的顶点，并且是在父关系中编码的那些。后退 边是那些其另一个端点是正在扩展的顶点的祖先的那些， 所以他们重新指向树。

所以条件(!processed[y]) 应该处理无向图（因为条件(g->directed) 是处理有向图）通过允许算法处理作为后边的边并防止它重新处理那些是树的边缘（在相反的方向）。但是，正如您所注意到的，当通过这种条件读取子项时，树边缘被视为后边缘，因此您应该用建议的 (parent[v]!=y) 替换此条件。

只要没有平行边，当算法读取无向图时，条件(!processed[y]) 总是为真（进一步详细说明为什么这是真的 - *）。如果有平行边 - 在它们的第一个“副本”之后读取的那些平行边将产生 false 并且边将不会被处理，当它应该被处理时。但是，您建议的条件将区分树边和其余边（后边、平行边和自环），并允许算法仅处理那些不是相反方向的树边。

要引用自边，它们应该适用于新旧条件：它们是带有y==v 的边。找到他们，y 被发现（因为v 在通过其边缘之前被发现），未处理（v 仅作为最后一行处理 - 在通过其边缘之后）并且它不是v的父级（v 不是它自己的父级）。

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*通过v 的边缘，算法读取已发现的y 的条件（因此它不会进入第一个条件块）。正如上面所引用的（书中也有一个半证明，我将在本脚注的末尾加入），p 要么是树边缘，要么是后边缘。当y 被发现时，它不能是从v 到y 的树边。它可以是祖先的后沿，这意味着调用是在某个点开始处理这个祖先的递归调用中，因此祖先的调用尚未到达最后一行，将其标记为已处理（因此它仍然被标记未处理），它可以是从y 到v 的树边，在这种情况下，同样的情况成立 - 并且y 仍被标记为未处理。

每条边是树边或后边的半证明：

为什么边不能去兄弟或表亲节点而不是祖先？ 从给定顶点 v 可到达的所有节点在我们完成 从 v 遍历，所以这种拓扑对于无向图是不可能的。