以圆为界的最短路径

Question

有n个圆，半径为r，第i个圆的原点位于(x[i], y[i])。我想找到从第一个圆的原点到最后一个圆的原点的最短路径的距离，并且路径上的任何点都位于一个或多个圆内。

下面是位于(3, 3), (3, 7) 和(6, 7)的三个圆圈的演示，蓝线是最短路径。

我试图找到每对圆的交点并运行最短路径算法，但这会导致时间复杂度为O(n^5)。我想知道是否存在运行速度更快的更好算法。谢谢。

Answer 1

我找到了O(n^3) 的解决方案。请注意，最佳路径由连接起点、终点或不位于另一个圆内的圆的交点（换句话说，图形的“外部交点”）的线段组成。候选点数为O(n)。

那么对于每一对点，如果连接它们的直线上的每一点都在图形内，则将这对点的距离标记为它们之间的直线距离。否则，将距离标记为无穷大。这需要O(n^3)，因为有O(n^2) 点对，检查需要O(n)。

最后，运行从起始位置到结束位置的任何最短路径算法。 Floyd-Warshall 将是一个不错的选择，因为它的时间复杂度为O(n^3)，并且给出了邻接矩阵。