有没有办法在恒定时间（O（1））中查找路径是否存在于有向无环图中？答案

【问题标题】：Is there a way to find if path exists in a Directed acyclic graph in constant time (O(1))?有没有办法在恒定时间（O（1））中查找路径是否存在于有向无环图中？
【发布时间】：2015-02-10 07:32:07
【问题描述】：

我有一些有向无环图。我想查找O(1) 中两个顶点之间是否存在路径。

另外，我想在O(n^2) 的两个顶点之间添加和删除边。

我想，我需要存储信息，两个节点之间存在多少条路径。但我没有提出完整的算法。

【问题讨论】：

关于您的第一个问题，如果 B 可以从 到达，您可以通过添加一对 A,B 来预先计算一个地图一个.

标签： algorithm graph graph-algorithm directed-acyclic-graphs

【解决方案1】：

阅读这方面的好地方是“算法，第 4 版”。作者：罗伯特·塞奇威克和凯文·韦恩。http://algs4.cs.princeton.edu/home/。他们还在 Coursera.org 上展示学习课程“算法”。它是免费的，并且有材料可以回答您的问题。看看吧。https://www.coursera.org/course/algs4partI

【讨论】：

投反对票？！好惊讶！我没有看到复制粘贴好的学习材料有任何意义，您可以通过上面的链接获得这些材料，包括许多 Java 代码。
我没有投反对票，但仅链接的答案被认为是不好的，因为链接可能会断开，使答案完全毫无价值。可以提供一个链接作为总结相关信息的答案的一部分。（请注意，仅链接的答案也可能被标记为垃圾邮件。在这种情况下，它对我来说似乎不是垃圾邮件，除非您与普林斯顿大学或 coursera 有某种关联。

【解决方案2】：

假设f(i, j) 是从i 到j 顶点的路径数。最初（我假设图形是空的，如果不是这种情况，您可以使用 add 操作添加所有边）f(i, j) = 1 如果i = j 和0 否则。

要添加从a 到b 的边，您可以使用以下过程：

for i = 1 .. n
    for j = 1 .. n
        new_f(i, j) = f(i, j) + f(i, a) * f(b, j) //add the number of paths that contain a new edge

其中n 是顶点数。

可以用类似的方式移除边缘：

for i = 1 .. n
        for j = 1 .. n
            new_f(i, j) = f(i, j) - f(i, a) * f(b, j) //subtract the number of paths that contian this edge

删除/添加边缘显然需要O(n ^ 2) 时间。从a 到b 的路径存在当且仅当f(a, b) != 0。

但是，此解决方案存在一个问题：路径的数量可能非常大（大于标准整数类型可以容纳的数量），并且使用任意精度算术会增加时间复杂度。为避免此问题，您可以计算以某个大素数为模的路径数（但足够小以适合标准整数类型）p。此解决方案可能会产生不正确的结果（路径数可以是 0 模 p 即使它实际上是非零），但失败的概率很低。为了进一步减少它，您可以计算 f 模数几个不同的素数。

【讨论】：

“对几个不同的素数取模”，即具有方便的中国剩余定理表示的大数。