具有最小边权和节点权重的子图 >= Val答案

【问题标题】：Subgraph with minimum edge weight and node weight >= Val具有最小边权和节点权重的子图 >= Val
【发布时间】：2016-02-23 15:11:29
【问题描述】：

我遇到了这个问题 - 在无向图中，每个节点和边都有一个权重。所有的权重都是非负的。给定一个值S，找到边权重之和最小的连通子图，使得其节点权重之和至少为S。

最明显的解决方案是考虑所有可能的子图的蛮力方法。但是时间复杂度是指数级的。有没有更好的算法呢？我的直觉是我们可以将节点权重转换为边权重，然后应用生成树算法。但我无法清楚地解决它。如何解决这个问题？

编辑：看起来我对子图的描述不够清楚。选定的子图必须是单个连接的组件。我希望现在很清楚。

【问题讨论】：

权重是否受到限制（例如所有非负数）？如果所有的权重都是非负的，那么问题就变得微不足道了——也许您想将子图限制为仅由一组边诱导的子图？
所有的权重都是非负的，所有的边都可以考虑。我们如何解决这个问题？
有了这些约束，解决方案很简单：选择所有节点而不选择任何边。边权重 0，节点权重肯定高于 S，除非不可能。
对不起，如果问题不清楚。所有选择的节点必须通过边连接。
您确定要说“强连通分量”而不是“强连通子图”吗？强连通分量是最大的，并且有有效的算法可以找到这些。

标签： algorithm graph time-complexity graph-algorithm

【解决方案1】：

我认为这个问题是 NP-hard 通过从 Steiner 树问题简化而来的。给定一个图 G 和一组需要跨越的节点 S，将 S 中所有节点的权重设置为 1，将所有其他节点的权重设置为 0。节点权重至少为 |S| 的子图具有最小总边成本的必须是一棵树（如果有任何循环，从循环中删除一条边只会降低成本）并且必须连接所有需要跨越的节点。因此，它是一棵施泰纳树。总的来说，这种减少可以在多项式时间内计算出来，所以你的问题是 NP-hard。

【讨论】：

从更新来看，似乎不需要连接解决方案——因此这个问题的解决方案可能是森林而不是生成树，因此不是施泰纳问题的解决方案。
@DanielWagner 这个问题仍然是关于连接子图的——也许我错过了什么？
是的，你是对的 - 自从我写了我的评论以来，已经有了进一步的澄清。道歉！
@templatetypedef 有没有解决这个问题的动态编程方法？
@Sashank 我不知道，尽管有很好的 Steiner 树近似算法以防万一。