估计二项式函数中的递归调用次数（Sedgewick 算法，第 4 版）答案

【问题标题】：Estimating number of recursive calls in binomial function (Sedgewick Algorithms, 4th Edition)估计二项式函数中的递归调用次数（Sedgewick 算法，第 4 版）
【发布时间】：2021-06-15 05:57:11
【问题描述】：

Robert Sedgewick 的“算法，第 4 版”的练习 1.1.27 的一部分是估计此函数进行的递归调用次数：

public static double binomial(int n, int k, double p) {
    if((n == 0) && (k == 0)) return 1;
    if((n < 0) || (k < 0)) return 0;
    return (1 - p) * binomial(n - 1, k, p) + p * binomial(n - 1, k - 1, p);
}

如下调用时：binomial(100, 50, 0.25).

不幸的是，我不知道在解决这类问题时我的思维过程应该是什么。我曾考虑用较小的值运行该方法以希望找到一种模式，但我不知道如何将其关联起来，因为有 3 个不同的变量，其中两个会影响递归基本情况。

如果有人能提供有关如何解决此问题的见解，我将不胜感激。

【问题讨论】：

我建议您从调用函数时计算机所做的事情开始 - 评估它。尝试在参数中输入“100,50,0.25”，看看下一次递归调用会是什么。然后尝试执行下一次迭代。进行大约 10-20 次深度迭代，您就会开始了解需要多长时间。
注意递归调用的次数不依赖于p。
为k = 0解决它。然后求解k = 1。然后k = 2。继续前进，直到你看到一个模式。

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

只是一些小技巧，希望对你有所帮助：

递归的终点是p * binomial(N - 1, k - 1, p)。
当计算遇到第一个端点时，它有 N 层用于循环包装。
结合 1 和 2，我们可以推断出 T(N) = N * T(N - 1)。

所以 1.1.27 的估计是 N!，AKA 100!。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果你真的很难理解模式，你可以通过改变代码本身来计算，以便很容易地为你提供递归次数：

double binomial(int n, int k, double p) {
    if ((n == 0) && (k == 0)) 
        return 0;

    if ((n < 0) || (k < 0)) 
        return 0;

    return binomial(n - 1, k, p) + binomial(n - 1, k - 1, p) + 2;
}

另一个提示，尝试找到递归的实际终点以及它对 k 和 n 的含义（注意 k 并不总是为 0，并尝试了解何时以及模式是什么）

【讨论】：