如何使用 KMP 失败函数确定最小长度重复子串？

Question

我想使用 KMP 算法解决UVA 10298 -"Power Strings" 问题。在this 博客中，展示了如何使用失效函数计算最小长度重复子串的技术。技术如下：

1. 计算给定字符串的前缀-后缀表pi[ ]。
2. 设len 为字符串长度，last_in_pi 为存储在pi 表的最后一个索引处的值。
3. 检查len % (len - last_in_pi) == 0 是否为真。如果为真则最小长度重复子串的长度为(len - last_in_pi)，否则为给定字符串的长度。

我了解什么是故障函数以及它如何用于在文本中查找模式，但我很难理解这种技术的正确性证明。

Answer 1

请记住，Pi[i] 被定义为your_string 的最长前缀（长度），它是子字符串your_string[0 ... i] 的正确后缀（因此不是整个字符串）。

您链接到的博客文章中有一个示例：

    0 1 2 3 4 5
S : a b a b a b
Pi: 0 0 1 2 3 4

我们在哪里：

a b a

a b a b

等等。我希望这能说明Pi（前缀函数/表）的作用。

现在，博客说：

前缀表的最后一个值 = 4.. 现在如果它是一个重复的字符串 than ，它的最小长度将是 2. (6(string length) – 4) , Now

所以你必须检查len % (len - last_in_pi) == 0。如果是，那么len - last_in_pi是最短重复字符串（句点字符串）的长度。

这是有效的，因为如果您以任一方式旋转具有len(period) 位置的字符串，它将匹配自身。 len - last_in_pi 告诉您需要旋转多少。

Answer 2

问题

S（长度为Ls）是给定的字符串。 M（长度为Lm）是S的最大真后缀，也是S的前缀。我们要证明Ls - Lm是S的最短周期的长度。

矛盾证明

假设有一个句点Y，其长度为Ly < Ls - Lm（即，它比上述技术给出的短）。

需要注意的一个重要属性是M 是Y 的正确前缀，反之亦然，具体取决于它们的长度。我们可以将其表示为M = n*Y + Z，其中n >= 0 和Z 是附加部分，Lz < Ly。 Z 形成 Y 的前缀，因为 Y 会重复。让Y = Z + W.

考虑M 后缀。将 previous Ly 原始字符串 S 中的字符数附加到它。这不会超过字符串长度，因为 (Ly < Ls - Lm)。新的后缀是(n + 1)*Y + Z。

考虑M 前缀。现在将原始字符串 S 中的 next Ly 字符数附加到它上面。这里的新前缀是

M + (next Ly characters from S)
- > n*Y + Z + (Ly characters)  
- > n*Y + Z + (Ly - Lz characters) + (Lz characters)  
- > n*Y + (Z + W) + (Z)  
{The `Ly - Lz` characters should be `W` because `Z` and these together form `Y`; The last Lz characters are actually the the first Lz characters of Y which is nothing but Z}  

- > (n + 1)*Y + Z  

现在我们有了一个适当的 S 后缀，它也是一个前缀，并且大于 M。但我们开始说M 是最长的正确后缀，也是前缀。所以这是一个矛盾，暗示这样的Y是不存在的。

Answer 3

• 假设您有一个大小为 n 的字符串 s，看起来像 s = x1x2x3...x[n-2]x[n-1]x[n]
• 假设 s 的最大公共前缀/后缀长度为 len
• 那么它的周期是 p = (n - len), iff n % p == 0
• 感应：
  • 表示前缀 = s[1...len]，后缀 = s[p+1...n]
  • 然后我们有前缀[1...p] == 后缀[1...p] == s[p+1...2p]
  • 因为 s[p+1...2p] == 前缀[p+1...2p] 所以后缀[1...p] == 后缀[p+1...2p]
  • 递归后缀[p+1...2p] == s[2p+1...3p] == 前缀[2p+1...3p]
  • ...