强大的多边形法线计算

Question

是否有一个很好的鲁棒算法来计算凸多边形的法向量（当然是 3D 的）？对于三角形，这很简单：取三角形的两条边并计算叉积：

vec3 u = point[0] - point[1], v = point[0] - point[2];
vec3 n = normalize(cross(u, v));

但是这种方法并不能很好地扩展到多边形。多边形的某些边可能几乎或“完全”共线（这经常发生在删除 T 形接头的网格中），因此有必要选择一对边，给出“强”法线（两条边都是“足够长”并且它们保持“几乎垂直”的角度）。

不过，这种方法仍然不适用于所有多边形。想象一个圆盘形状的多边形。如果细分得非常精细，则所有边都将非常短，并且所有连续的边将几乎共线，而与圆盘的半径无关。同时，法线也非常明确。

一种解决方案可能是找到最大的内接三角形并计算其法线。但是，找到它的复杂度将达到O(n^2)，这似乎令人望而却步。

更好的解决方案可能是使用 SVD 或特征值分解来计算法线，给定所有多边形点，而不仅仅是三个或四个。

对此有标准算法吗？有谁有好的方法吗？

Answer 1

如果对三角形的公式进行因式分解，您将得到以下结果：

n ~ (p1 - p0) x (p2 - p0)
  = p0 x p1 + p1 x p2 + p2 x p0

您可以将此公式推广到任意多边形：

n ~ p0 x p1 + p1 x p2 + ... + pn x p0

因此对连续边的叉积求和。这是一种稳健的算法，适用于非平面多边形。

如果您可以确定多边形是平面的，我会执行以下操作（以节省计算时间）：

Repeat k times
    Pick 3 random polygon vertices
    Calculate the normal of the according triangle
Choose the longest normal as the polygon's normal.

您可以丢弃任何具有length <= epsilon 的法线。

Answer 2

您可以计算多边形所有点的协方差矩阵（这将是 3D 空间的 3x3 矩阵）。多边形的法线将是对应于最小特征值的特征向量。

Answer 3

从任意顶点开始（我们称之为顶点 A），然后移动到列表中的下一个顶点（称之为顶点 B）。计算 AB 向量的垂直向量（称为向量 P）。然后继续在顶点列表中迭代，找到垂直距离向量 AB 最远的顶点。因此，在每次迭代中，将当前元素（以顶点 B 为原点）与向量 P 的点积取为幅度结果最大的那个（取绝对值）并将其称为 C。计算的叉积ABC 向量。

如果多边形是凸的，您可以停止迭代，直到垂直距离开始 幅度变小。

我想出了这个想法，我不知道这种方法的效率有多高，因为我不知道任何其他算法可以与之比较。