计算 N 维空间中与 3 个点的最小距离的等距点

Question

我正在尝试以任意维度对Ritter's bounding sphere algorithm 进行编码，但我被困在创建一个球体的部分，该球体的边缘将有 3 个给定点，或者换句话说，一个将被定义的球体在 N 维空间中减少 3 个点。

该球体的中心将是距（定义）3 个点的最小距离等距点。

我知道如何在 2-D 中解决它（由 3 个点定义的三角形的外圆心），并且我已经看到了一些 3D 的矢量计算，但我不知道 ND 的最佳方法是什么，如果可能的话。

（如果我走错了方向，我也会感谢有关 ND 中最小边界球计算的任何其他建议。）

Answer 1

我的 Bounding Sphere 算法仅在 3 维中计算接近最优的球体。

Fischer 有一个精确的最小边界超球体（N 维）。请参阅他的论文：http://people.inf.ethz.ch/gaertner/texts/own_work/seb.pdf。

他的 (C++/Java) 代码：https://github.com/hbf/miniball。

杰克·里特 jack@houseofwords.com

Answer 2

如果我做对了：

想要的点p 是三个具有相同半径r 的超球体之间的交点，其中超球体的中心是您的点p0,p1,p2，而半径r 是所有可能解决方案中的最小值。在 n-D 中，任意点定义为 (x1,x2,x3,...xn)

求解以下方程：

|p-p0|=r
|p-p1|=r
|p-p2|=r

其中p,r 是未知数，p0,p1,p2 是已知数。这导致3*n 方程和n+1 未知数。所以得到所有非零的r 解决方案并选择最小的。为了正确计算，从每个球体中选择一些非平凡的方程(0=r)，形成n+1=方程和n+1未知数的系统并求解。

[注释]

为了简化处理，您可以将方程式设为以下形式：

(p.xi-p0.xi)^2=r^2

只有在找到解决方案后才使用sqrt(r^2)（忽略负半径）。

还有另一种更简单的方法：

您可以计算点p0,p1,p2 所在的平面，因此只需在该平面内找到这些点的u,v 坐标。然后在(u,v) 坐标上以2D 解决您的问题，然后将找到的解决方案形式(u,v) 转换回您的n-D 空间。

n=(p1-p0)x(p2-p0); // x is cross product
u=(p1-p0); u/=|u|;
v=u x n; v/=|v|; // x is cross product

如果我的记忆对我有用，那么转换 n-D -> u,v 是这样完成的：

P0=(0,0);
P1=(|p1-p0|,0);
P2=(dot(p2-p0,u),dot(p2-p0,v));

其中P0,P1,P2 是平面(u,v) 坐标系中的2D 点，对应于n-D 空间中的点p0,p1,p2。

转换回来是这样完成的：

p=(P.u*u)+(P.v*v);