这个算法的复杂度是多少，我可以把它加到无穷大吗？答案

【问题标题】：what is the complexity of this algorithm , can i sum it to infinity?这个算法的复杂度是多少，我可以把它加到无穷大吗？
【发布时间】：2016-03-22 23:52:32
【问题描述】：

Func(n)
{
   i = n
   while(i>=1)
      g(i);
      i = i/3;
}

这个算法的复杂度是多少？（而 g(n) 的复杂度是 theta(n²)）我假设对于更大的 n，你说复杂度是

n² + (n/3)² + (n/3²)² + (n/3³)²..... 到无穷大。

答案是 theta(n²)。这是真的吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm loops while-loop time-complexity logarithm

【解决方案1】：

如您所见，循环运行如下。

Iteration 1: n^2 = n^2/3^0
Iteration 2: (n/3)^2 = n^2/3^2
Iteration 3: (n/3^2)^2 = n^2/3^4
Iteration 4: (n/3^3)^2 = n^2/3^6
...
Iteration k: (n/3^(k-1))^2 = n^2/3^(2*(k-1))

使用几何级数求和公式，我们得到总时间为

T(iteration1) + T(iteration2) + ... + T(Iterationk)

term 1 = n^2
ratio = 1/9
sum = 9 * n^2 / 8

当 K 是一个可以假定为无穷大的大数时。

由于大 O 表示法忽略了常量，

O( 9* n^2 /8) = O(n^2)

【讨论】：

我可以假设 K 是无穷大吗？

【解决方案2】：

让我们看看我们手中的系列。

=> n² + (n²/3) + (n/3)² + (n/3²)² + (n/3³)²..... 
taking n² common
=> n² * [ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]

由于[ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]是一个递减序列，它等于1。

因此答案是O(n²)

编辑 1：

证明[ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]的系列之和，如下。

【讨论】：

谢谢！这就是我所做的，我的讲师不接受这个答案。他说总和中的值的数量是 log3(n) 而不是无穷大。我可以假设它的无穷大吗？
@yair，不，你不能假设它是无限的，因为有 log3(n) 值。但是你可以说这个系列的总和是1，或者< 2，就像在这种情况下一样。
递减级数必须无穷大，如果我想求和，不是吗？如果不是，我必须用正常的几何方程求和，不是吗？
@yair，给我一点时间，我会发布证明。
@yair，该系列的证明在我发布的图片中。

【解决方案3】：

严格来说，i 是一个整数，它很快就变成了 0（在 floor(log3(n) 次迭代之后），所以没有理由去无穷大。

无论如何，将i 视为一个有理数的结果是不会改变渐近行为的真实公式的近似值，仍然是 O(n²)。近似以两种方式出现

i/3 可能与 floor(i/3) 不同；
一个可以加到无穷大；小于 1 的项最差只会加到 4/3，这是完全可以忽略的。

【讨论】：