现在几乎每个人都使用floating point 算术。该系统本质上是范围和精度之间的权衡，允许一个表示非常小或非常大的数字。但是，还有其他方法可以做到这一点。
正如我最近发现的那样，其中一种方法称为symmetric level-index arithmetic。这是一个涉及一种电力塔的复杂系统，我在各个地方看到了一些零星的系统软件实现。
与传统的浮点运算相比，该系统有哪些优点和缺点？不能通过例如增加取指数的基数来复制它吗？ （从而进一步降低精度，但增加范围）
【问题讨论】：
标签： math floating-point numbers
对称级别索引算术 (SLIA) 非常擅长表示巨大的数字。例如，它可以轻松地将 googol 10^100 表示为 4.5268756157751 或将 googolplex 10^(10^100) 表示为 5.5272678974304。您可以轻松地在四联链上继续此操作。这与浮点数学完全相反，浮点数学在遇到本身是高数量级的指数时就会中断。
但是，浮点数确实具有固定的乘法（百分比）精度。值ulp(x)/x 其中ulp 是x 和下一个最接近的可表示数字之间的距离，受一个相对较低的值=2^(-bits of precision) 的约束。另一方面，SILA 不保证这种效果。假设您将 SILA 表示的位存储为定点（因为您的级别可能会有 some 上限），您的索引值中有一些固定的ulp。要使用 SILA 的示例，请以 SILA = 3.14159 为例； x = e^(e^(e^.14159)))。为了找到ulp(x)，我们可以使用导数规则来传播不确定性，使用ulp(index)作为索引中的不确定性（.14159）。 ulp(x) = e^(e^(e^.14159)))*e^(e^.14159))*e^.14159*ulp(index)，所以ulp(x)/x = e^(e^.14159))*e^.14159*ulp(index)。这种模式通常成立，并且由于n 和e^n 之间的巨大乘法差异，我忽略了除第一个术语之外的所有内容，以得出ulp(x)/x ~ ln(x)*index*(ulp(index)/index) 的结论。这显然比使用浮点表示法的错误程度要高得多。
增加表示的基础会增加范围。然而，真正的问题是你希望你的数字有多大？物理学中最大的数字之一，the Poincare recurrence time（有关值，请参见this article），可以很容易地用标准 SLIA 表示为8.2。更大的数字，例如Graham's number，不能在任何基本的 SLIA 中有效地表达，塔的数量太大了。 Base e 非常方便，因为它不需要任何校正因子。
【讨论】：
epsilon = ulp(index)，用x = e^e^e^index，更精确的结果是ulp(x)/x ~ ln(x) ulp(index)，这更能说明ulp(x)/x = [ln(x) * index] * ulp(index)/index，因为它显示了相对不确定性中的大乘法因子在x 和index 之间，对吧？
epsilon 更改为ulp(index)。我认为这要清楚得多。感谢您的建议！
ln(n) 和 ln(ln(n)) 之间的乘法差异对于您的大量数字来说很小，那么您可能不应该使用 SLIA。