使用双精度运算的快速 SSE 低精度指数

Question

我正在寻找快速 SSE 低精度 (~1e-3) 指数函数。

我遇到了这个很棒的answer：

/* max. rel. error = 3.55959567e-2 on [-87.33654, 88.72283] */
__m128 FastExpSse (__m128 x)
{
    __m128 a = _mm_set1_ps (12102203.0f); /* (1 << 23) / log(2) */
    __m128i b = _mm_set1_epi32 (127 * (1 << 23) - 298765);
    __m128i t = _mm_add_epi32 (_mm_cvtps_epi32 (_mm_mul_ps (a, x)), b);
    return _mm_castsi128_ps (t);
}

基于 Nicol N. Schraudolph 的作品：N. N. Schraudolph。 “指数函数的快速、紧凑的近似。”神经计算，11(4)，1999 年 5 月，第 853-862 页。

现在我需要一个“双精度”版本：__m128d FastExpSSE (__m128d x)。 这是因为我不控制输入输出精度，正好是双精度，两次转换double->float，然后float->double都吃掉了50%的CPU资源。

需要进行哪些更改？

我天真地尝试过这个：

__m128i double_to_uint64(__m128d x) {
    x = _mm_add_pd(x, _mm_set1_pd(0x0010000000000000));
    return _mm_xor_si128(
        _mm_castpd_si128(x),
        _mm_castpd_si128(_mm_set1_pd(0x0010000000000000))
    );
}

__m128d FastExpSseDouble(__m128d x) {

    #define S 52
    #define C (1llu << S) / log(2)

    __m128d a = _mm_set1_pd(C); /* (1 << 52) / log(2) */
    __m128i b = _mm_set1_epi64x(127 * (1llu << S) - 298765llu << 29);

    auto y = double_to_uint64(_mm_mul_pd(a, x));

    __m128i t = _mm_add_epi64(y, b);
    return _mm_castsi128_pd(t);
}

当然这会返回垃圾，因为我不知道自己在做什么......

编辑：

关于 50% 的因素，这是一个非常粗略的估计，比较了将单精度数字向量（很好）转换为双精度数字列表（不是太棒了）。

这是我使用的代码：

// gives the result in place
void FastExpSseVector(std::vector<double> & v) { //vector with several millions elements

    const auto I = v.size();

    const auto N = (I / 4) * 4;

    for (int n = 0; n < N; n += 4) {

        float a[4] = { float(v[n]), float(v[n + 1]), float(v[n + 2]), float(v[n + 3]) };

        __m128 x;
        x = _mm_load_ps(a);

        auto r = FastExpSse(x);

        _mm_store_ps(a, r);

        v[n]     = a[0];
        v[n + 1] = a[1];
        v[n + 2] = a[2];
        v[n + 3] = a[3];
    }

    for (int n = N; n < I; ++n) {
        v[n] = FastExp(v[n]);
    }

}

如果我有这个“双精度”版本，我会这样做：

void FastExpSseVectorDouble(std::vector<double> & v) {

    const auto I = v.size();

    const auto N = (I / 2) * 2;

    for (int n = 0; n < N; n += 2) {
        __m128d x;
        x = _mm_load_pd(&v[n]);
        auto r = FastExpSseDouble(x);

        _mm_store_pd(&v[n], r);
    }

    for (int n = N; n < I; ++n) {
        v[n] = FastExp(v[n]);
    }
}

Answer 1

这样的事情应该可以完成。您需要调整 1.05 常量以获得较低的最大误差——我懒得这样做：

__m128d fastexp(const __m128d &x)
{
    __m128d scaled = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(x, _mm_set1_pd(1.0/std::log(2.0)) ), _mm_set1_pd(3*1024.0-1.05));

    return _mm_castsi128_pd(_mm_slli_epi64(_mm_castpd_si128(scaled), 11));
}

这只会获得大约 2.5% 的相对精度——为了获得更好的精度，您可能需要添加第二项。

此外，对于溢出或下溢的值，这将导致未指定的值，您可以通过将scaled 值限制为某些值来避免这种情况。