这些问题如何落入 P、NP、NP-Hard 等...系列的挂毯中？我不知道是否存在任何这样的问题，但引发我思考过程的是考虑旅行商问题的可判定性：
Given a list of cities and the distances between each pair of cities, and a
Hamiltonian path P, is P the shortest Hamiltonian path?
我怀疑我们无法在多项式时间内验证 P 的“最短性”，其中这个决策问题甚至不在 NP 中。那么在这种情况下它落在哪里呢？
【问题讨论】：
标签： complexity-theory traveling-salesman np np-hard
这个问题在 co-NP 中。您可以将 NP 视为一类问题，如果答案是肯定的，那么我可以给您的少量信息可以使您相信这一点。比如问题
G 中是否存在成本最多为 k 的哈密顿循环？
在NP中，因为如果答案是肯定的，我可以给你循环，你可以检查它是否有效。想出那个循环很难，但是一旦你有了哈密顿循环，就很容易用它来检查答案。
co-NP 课程由问题组成，如果答案是否，我可以提供少量信息让你相信这一点。在您的情况下，假设不，P 不是最短哈密顿路径。这意味着有一些较短的路径 P'。如果我给你 P'，你可以很容易地检查出 P 不是理想的。想出 P' 可能真的很难（事实上，它是 co-NP-hard！），但是一旦你有了它，就可以很简单地用它来确认答案是否定的。
希望这会有所帮助！
【讨论】：
给定两个整数 n 和 m，是否正好有 m 个素数 p
这可以在大约 O (n^(2/3)) 内解决，并且可能会稍微快一些，但问题的大小当然不是 n 而是 log (n)，因此它需要 n 中的亚线性时间，但是问题大小的指数时间。这并不比你对 NP 问题的预期更糟。但是，我看不到任何可以让您更快检查的信息。
（实际上，有一种算法可以在大约 O (n^(2/3)) 步内确定素数 检查比找到答案更快。）
【讨论】：
给定整数 n 和 k，2^n - 1 是第 k 个梅森素数吗？
如果 p + 1 的完全因式分解已知，则可以证明 p 是 p 大小的质数多项式，并且如果 p = 2^n - 1 则 p + 1 的完全因式分解是微不足道的.
但是，这是 p 大小的多项式。 2^n - 1 可以及时检查素数，即 n 中的多项式。但是，这不是问题大小的多项式，它大致是 n 和 k 中的位数。它只会回答 2^n - 1 是否是梅森素数的问题。为了证明它是第 k 个梅森素数，我们必须检查 2^m - 1 是否有 1
目前，对于 k >= 44 和许多 8 位值 n，该问题的答案未知。
【讨论】：