使用按位 & 而不是取模运算符从一个范围内随机采样整数答案

【问题标题】：Using bitwise & instead of modulus operator to randomly sample integers from a range使用按位 & 而不是取模运算符从一个范围内随机采样整数
【发布时间】：2013-09-11 13:39:51
【问题描述】：

我需要在 C++ 中的区间 [LB,UB] 上从整数的均匀分布中随机抽样。为此，我从一个“好”的 RN 生成器（来自 Numerical Recipes 3rd ed.）开始，它均匀地随机采样 64 位整数；我们就叫它int64()吧。

使用 mod 运算符，我可以通过以下方式从[LB,UB] 中的整数中采样：

LB+int64()%(UB-LB+1);

使用 mod 运算符的唯一问题是整数除法的速度很慢。于是，我又尝试了here建议的方法，即：

LB + (int64()&(UB-LB))

按位 & 方法的速度大约是 3 倍。这对我来说意义重大，因为我在 C++ 中的一个模拟需要随机采样大约 2000 万个整数。

但是有 1 个大问题。当我分析使用按位 & 方法采样的整数时，它们在区间 [LB,UB] 上看起来并不均匀分布。整数确实是从[LB,UB] 中采样的，但仅来自该范围内的偶数。例如，这是使用按位 & 方法从 [20,50] 采样的 5000 个整数的直方图：

相比之下，使用 mod 运算符方法时类似的直方图看起来像这样，当然效果很好：

我的按位 & 方法有什么问题？有没有办法修改它，以便在定义的间隔内对偶数和奇数进行采样？

【问题讨论】：

如果您不必做对，那么快速很容易。 <g> 掩码给出有效分布的唯一情况是目标范围的大小是 2 的幂。
您是否考虑过在 (0,1) 范围内使用生成器，将其称为 u0_1()，然后进行乘法运算：LB+(int)(u0_1()*(UB-LB+1)？无论如何，基于模的方法通常会产生不一致的结果，应该避免。
@pjs 是的，这就是我今后将使用的。感谢您的建议。
@pjs 乘法应该是LB+(int)(u0_1()*(UB-LB+1)) 还是LB+((int)u0_1())*(UB-LB+1)？
@synaptik 你想要前者，后者总是会将 u0_1() 结果变为零，从而产生 LB。对不起，我的评论中缺少括号。

标签： c++ random bit-manipulation modulo integer-division

【解决方案1】：

只有当区间的大小是 2 的幂时，两者才等价。一般来说 y%x 和 y&(x-1) 是不一样的。

例如，x%5 产生从 0 到 4 的数字（或到 -4，对于负 x），但 x&4 产生 0 或 4，从不产生 1、2 或 3，因为按位运算符的工作方式。 .

【讨论】：

有什么办法可以避免在这里使用 mod 操作符，让采样更快？
是的，但如果值不是 2^{n-1，您将“丢失位”。}
尝试使用 52 和 20 而不是 50 和 20 进行测试。
@MatsPetersson 你是什么意思？你能解释一下替代方案吗？（抱歉，我是按位运算的新手。）
由于& 操作仅对两侧存在的位产生“1”，因此右侧的“1”越少，可以获得的不同值就越少。所以对于范围的任意选择，你不能使用这个技巧。对于% 的改进，我想不出任何明显的建议。如果x 是“右侧”中的一位数，则可能值的数量为 2^x。所以对于 7 (0111) 你得到 2^3=8 个不同的值。对于 4 (0100)，您会得到 2^1 = 2 个不同的值。

【解决方案2】：

如果范围差 (UB-LB) 为 2ⁿ-1，则此方法效果很好，但如果例如为 2ⁿ，则效果不佳。

【讨论】：

【解决方案3】：

按位& 运算符查看其操作数的每一对对应位，仅使用这两个位执行and，并将结果放入结果的对应位中。

所以，如果UB-LB的最后一位是0，那么结果的最后一位就是0。也就是说，如果UB-LB是偶数，那么每个输出都是偶数。

& 不适合目的，除非UB-LB+1 是 2 的幂。如果你想找到一个模数，那么没有通用的捷径：编译器已经以它知道的最快方式实现 % .

请注意，我说没有通用快捷方式。对于在编译时已知的UB-LB 的特定值，可以有更快的方法。如果你能以某种方式安排UB 和LB 具有编译器可以在编译时计算的值，那么它会在你编写% 时使用它们。

顺便说一句，使用% 实际上并不会在范围内产生均匀分布的整数，除非范围的大小是 2 的幂。否则肯定会有轻微的偏向于某些值，因为int64() 函数的范围不能在所需范围内平均分配。可能是偏差太小而无法特别影响您的模拟，但糟糕的随机数生成器过去破坏了随机模拟，并且会再次这样做。

如果您想要在任意范围内均匀分布随机数，请使用 C++11 中的 std::uniform_int_distribution，或 Boost 中的同名类。

【讨论】：

是的，我一直在考虑安排LB和UB有一定的关系，然后使用采样的方法，但丢弃超出真实期望范围的采样变量.
@synaptik：好吧，您可能会很幸运，这取决于您的运行时 UB-LB 与您使用的特殊值的接近程度。但一般来说，重采样可能比除法慢。
“但是糟糕的随机数生成器在过去破坏了随机模拟”你是 100% 正确的。这就是我使用 NR3 方法的原因之一。它已经过充分验证。
@synaptik：但是你用有偏见的% 转换破坏了它。将正确分布的随机数据转换为不正确分布的数据非常容易。请注意，如果您不喜欢std 提供的默认随机生成器，您可以使用uniform_int_distribution 并仍然传递一个生成器对象，该生成器对象使用来自NR3 的声音算法。
是的，这是真的。（我将他们的 RN 生成器用于其他目的来采样均匀和正态变量，在这些其他情况下，采样分布的统计有效性更为重要。）但重点。