如何计算数组中的最大中位数

Question

这是一道算法题：

输入是一个具有非重复正整数的数组。找到一个中值最大的连续子数组(size > 1)。

例子：输入：[100, 1, 99, 2, 1000]，输出应该是(1000 + 2) / 2 = 501的结果

我可以提出蛮力解决方案：尝试从 2 到数组大小的所有长度以找到最大中位数。但似乎太慢了。我也尝试在这个问题上使用两个指针，但不确定何时移动左右指针。

谁有更好的办法来解决这个问题？

Answer 1

tl;dr - 我们可以证明答案的长度必须为 2 或 3，之后是检查所有可能性的线性时间。

假设输入是A，具有最大中位数的最小子数组是a。最大的中位数是单个元素或来自a 的一对元素的平均值。请注意，a 中大于中位数最大元素的每个元素只能与小于中位数最小元素的元素相邻（否则可以选择这样的一对作为子数组以形成更大的中位数）。

如果a 的任一端有一对不包含中位数元素的元素，则可以从a 中删除它而不影响中位数，这是矛盾的。

如果a 的任一端小于中位数的最小元素，则消除它会增加中位数，这是一个矛盾。

因此a 的每一端要么是中间值的一个元素，要么大于中间值的最大元素（因为它大于中间值的最小元素而不等于中间值的最大元素）。

因此，a 的每一端都是中值的一个元素，否则，我们将有一个大于中值元素的元素，该元素与中值元素相邻，形成更大的中值。

如果 a 是奇数，那么它的长度必须是 3，因为任何更大的奇数长度都可以从距离中位数最远的a 的末尾删除 2，而不改变中位数。

如果a 是偶数，那么它的长度必须为 2，因为任何更大的偶数长度由中间元素的元素预订，内部元素在小于和大于中间值之间交替，必须有一个中间元素与一个较大的元素相邻元素比中位数的另一个元素，形成一个更大的中位数。

这个证明大纲可以使用一些编辑，但无论如何，结论是包含最大中位数的最小数组的长度必须是 2 或 3。

鉴于此，在线性时间内检查每个这样的子数组。 O(n)。

Answer 2

这是解决O(n)中问题的算法的Python实现：

import random
import statistics

n = 50
numbers = random.sample(range(n),n)

max_m = 0;
max_a = [];

for i in range(2,3):
    for j in range(0,n-i+1):
        a = numbers[j:j+i]
        m = statistics.median(a)
        if m > max_m:
            max_m = m
            max_a = a

print(numbers)
print(max_m)
print(max_a)

这是蛮力算法 (O(n^3)) 的一种变体，它只搜索长度为 2 或 3 的子数组。原因是对于每个大小为 n 的数组，都存在具有相同或改进的中位数的子数组。递归地应用这个推理，我们可以将子数组的大小减少到 2 或 3。因此，通过仅查看大小为 2 或 3 的子数组，我们可以保证获得具有最大中值的子数组。

操作如下：如果，对于一个连续的子数组（在开头或结尾），至少有一半的元素低于中位数（或低于形成中位数的两个值，如果这是这种情况），删除它们以改善或至少保留中位数。

如果在所有子数组中总是至少有一个元素高于或等于中位数而不是下位数，那么子数组的大小将达到中位数的大小。在这种情况下，这意味着补码将在中位数以下有更多元素，因此，我们可以简单地删除补码并改进（或保留）中位数。因此，我们总是可以执行操作。对于n=3，可能需要删除 2 或 3 个元素才能执行操作，这是不允许的。在这种情况下，结果就是列表本身。