减少排序网络答案

【问题标题】：Reducing a Sorting Network减少排序网络
【发布时间】：2017-06-30 19:25:12
【问题描述】：

排序网络是 2 个输入比较器的排列，可以对包含 n 个元素的输入序列进行排序。例如，这是一个 9 元素输入的排序网络：

每条垂直线是一个2输入比较器，输入序列在左边进入，排序后的序列出现在右边。

我的问题是：如何证明如果我们删除任何有效的 n 输入排序网络的顶线或底线，我们最终将得到一个有效的 (n-1) 输入排序网络？删除任何中间线怎么样？

我觉得这可以使用排序网络的图形表示来显示，但我找不到合适的表示。

【问题讨论】：

有一个简单的推理方法：想象最后一行的元素总是比其他元素大。在这种情况下，与它的比较永远不会移动任何元素，但仍会对输入的其余部分进行排序。由于与最后一行的比较不会改变任何内容，这意味着删除它们确实可以对 n - 1 个元素进行排序。

标签： algorithm sorting graph-algorithm sorting-network

【解决方案1】：

顶线或底线确实可以删除。证明这一点的一种方法是使用 Knuth 的 0-1 原理，该原理指出，当且仅当每个 0 和 1 的序列都正确排序时，排序网络才是正确的。让S 成为一个排序网络，让S' 成为S，去掉顶行。让x 成为S' 的0-1 输入。将0x 传递给S。通过归纳，我们可以证明k 阶段之后的值是一致的（除了删除的顶线），因为涉及顶线的所有门都是无操作的。由此可见S' 是一个正确的排序网络。

一般来说，我们不能删除中间线。例如，考虑网络

1 *   *
  |   |
2 * * *
    |
3   *

【讨论】：

你能解释一下这句话吗：“通过归纳，我们可以证明 k 个阶段之后的值是一致的”？如果您在第一行传递零输入，您可以假设该值将保留在该行上，并成为第一个输出，因此可以安全地删除它。但是，我看不出这种推理如何适用于在顶线上传递 1，如何证明在 k 个阶段之后，来自 1x 和 x 的值会一致？
@MichaelSB 我们证明S' 排序正确，因此通用量词覆盖所有输入x 到S'。我们假设S 排序正确，因此我们可以选择S (0x) 的参考输入。