在二叉搜索树中查找中位数

Question

编写函数T ComputeMedian() const 的实现，该函数在 O(n) 时间内计算树中的中值。假设这棵树是一个 BST，但不一定是平衡的。回想一下，n 个数字的中位数定义如下：如果 n 为奇数，则中位数为 x，使得小于 x 的值的数量等于大于 x 的值的数量。如果 n 是偶数，则一加小于 x 的值的数量等于大于 x 的值的数量。例如，给定数字 8、7、2、5、9，中位数为 7，因为有两个小于 7 的值和两个大于 7 的值。如果我们将数字 3 添加到集合中，则中位数变为 5。

这里是二叉搜索树节点的类：

template <class T>
class BSTNode
{
public:
BSTNode(T& val, BSTNode* left, BSTNode* right);
~BSTNode();
T GetVal();
BSTNode* GetLeft();
BSTNode* GetRight();

private:
T val;
BSTNode* left;
BSTNode* right;  
BSTNode* parent; //ONLY INSERT IS READY TO UPDATE THIS MEMBER DATA
int depth, height;
friend class BST<T>;
};

二叉搜索树类：

template <class T>
class BST
{
public:
BST();
~BST();

bool Search(T& val);
bool Search(T& val, BSTNode<T>* node);
void Insert(T& val);
bool DeleteNode(T& val);

void BFT(void);
void PreorderDFT(void);
void PreorderDFT(BSTNode<T>* node);
void PostorderDFT(BSTNode<T>* node);
void InorderDFT(BSTNode<T>* node);
void ComputeNodeDepths(void);
void ComputeNodeHeights(void);
bool IsEmpty(void);
void Visit(BSTNode<T>* node);
void Clear(void);

private:
BSTNode<T> *root;
int depth;
int count;
BSTNode<T> *med; // I've added this member data.

void DelSingle(BSTNode<T>*& ptr);
void DelDoubleByCopying(BSTNode<T>* node);
void ComputeDepth(BSTNode<T>* node, BSTNode<T>* parent);
void ComputeHeight(BSTNode<T>* node);
void Clear(BSTNode<T>* node);

};

我知道我应该先计算树的节点，然后进行中序遍历，直到我到达第 (n/2) 个节点并返回它。我只是不知道怎么做。

Answer 1

正如你提到的，首先找到节点的数量是相当容易的，进行任何遍历：

findNumNodes(node):
   if node == null:
       return 0
   return findNumNodes(node.left) + findNumNodes(node.right) + 1

然后，当节点编号为 n/2 时，中序遍历中止：

// index is a global variable / class variable, or any other variable that is constant between all calls
index=0
findMedian(node):
   if node == null:
       return null
   cand = findMedian(node.left)
   if cand != null:
        return cand
   if index == n/2:
       return node
   index = index + 1
   return findMedian(node.right)

这个想法是按顺序遍历以排序方式处理 BST 中的节点。因此，由于树是 BST，您处理的 ith 节点按顺序是 ith 节点，i==n/2 当然也是如此，当您找到它时，它是 n/2th节点，你返回它。

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附带说明一下，您可以向 BST 添加功能以高效查找 ith 元素（O(h)，其中 h 是树的高度），使用 order statistics trees。