当涉及到 theta 连接、等值连接和自然连接时，我无法理解关系代数。有人可以帮助我更好地理解它吗？如果我在 theta 连接上使用 = 符号，它与仅使用自然连接完全相同吗？
【问题讨论】：
relation JOIN {attribute operator attribute} relation。人们经常说“theta-join”，但实际上他们的意思是a generalization of theta-joinrelation JOIN {predicate} relation。 （类似于 SQL INNER JOIN ON。）
标签： sql database relational-database relational-algebra
theta join 允许任意比较关系（例如 ≥）。
equijoin 是使用相等运算符的 theta 连接。
自然连接是在每个关系中具有相同名称的属性上的等值连接。
此外，自然连接会删除相等比较中涉及的重复列，因此每个比较列中只保留 1 个；在粗略的关系代数术语中：
⋈ = πR,S-as ○ ⋈aR=aS
【讨论】：
theta 指的是用作连接标准的任意条件。 （参见数据库系统：Garcia-Molina、Ullman、Widom 的全书，第 2 章，Theta Join）
虽然解释确切差异的答案很好，但我想展示如何将关系代数转换为 SQL，以及这 3 个概念的实际价值是什么。
您问题中的关键概念是联接的概念。要了解联接，您需要了解笛卡尔积（该示例基于 SQL，其中等价的称为交叉联接，正如 onedaywhen 指出的那样）；
这在实践中不是很有用。考虑这个例子。
Product(PName, Price)
====================
Laptop, 1500
Car, 20000
Airplane, 3000000
Component(PName, CName, Cost)
=============================
Laptop, CPU, 500
Laptop, hdd, 300
Laptop, case, 700
Car, wheels, 1000
笛卡尔积 Product x Component 将是 - 波纹管或sql fiddle。可以看到有 12 行 = 3 x 4。显然，像“笔记本电脑”和“轮子”这样的行没有意义，这就是为什么在实践中很少使用笛卡尔积的原因。
| PNAME | PRICE | CNAME | COST |
--------------------------------------
| Laptop | 1500 | CPU | 500 |
| Laptop | 1500 | hdd | 300 |
| Laptop | 1500 | case | 700 |
| Laptop | 1500 | wheels | 1000 |
| Car | 20000 | CPU | 500 |
| Car | 20000 | hdd | 300 |
| Car | 20000 | case | 700 |
| Car | 20000 | wheels | 1000 |
| Airplane | 3000000 | CPU | 500 |
| Airplane | 3000000 | hdd | 300 |
| Airplane | 3000000 | case | 700 |
| Airplane | 3000000 | wheels | 1000 |
JOIN 旨在为这些产品增加更多价值。我们真正想要的是将产品与其关联的组件“连接”起来，因为每个组件都属于一个产品。这样做的方法是使用连接：
Pname 上的产品 JOIN 组件
相关的 SQL 查询是这样的（你可以玩所有的例子here）
SELECT *
FROM Product
JOIN Component
ON Product.Pname = Component.Pname
结果：
| PNAME | PRICE | CNAME | COST |
----------------------------------
| Laptop | 1500 | CPU | 500 |
| Laptop | 1500 | hdd | 300 |
| Laptop | 1500 | case | 700 |
| Car | 20000 | wheels | 1000 |
请注意，结果只有 4 行，因为 Laptop 有 3 个组件，Car 有 1 个，Airplane 没有。这更有用。
回到您的问题，您询问的所有联接都是我刚刚展示的 JOIN 的变体：
自然连接 = 对所有同名列进行连接（ON 子句）；它从结果中删除重复的列，而不是所有其他连接；大多数 DBMS（由各种供应商创建的数据库系统，如 Microsoft 的 SQL Server、Oracle 的 MySQL 等）甚至都不支持这一点，这只是一种不好的做法（或故意选择不实现它）。想象一下，一个开发人员来了，将 Product 中第二列的名称从 Price 更改为 Cost。然后所有自然连接都将在 PName 和 Cost 上完成，因为没有数字匹配，所以结果为 0 行。
Theta Join = 这是每个人都使用的一般连接，因为它允许您指定条件（SQL 中的 ON 子句）。您几乎可以在任何您喜欢的条件下加入，例如前 2 个字母相似或价格不同的产品。在实践中，这种情况很少发生 - 在 95% 的情况下，您将加入相等条件，这导致我们：
Equi Join = 实践中最常用的一种。上面的例子是一个 equi 连接。数据库针对这种类型的连接进行了优化！等值连接的对立面是非等值连接，即当您在“=”以外的条件下连接时。数据库没有为此优化！它们都是一般 theta 连接的子集。自然连接也是 theta 连接，但条件 (theta) 是隐式的。
信息来源：大学 + 认证的 SQL Server 开发人员 + 最近完成了斯坦福大学的 MOO“数据库简介”，所以我敢说我对关系代数有了新的认识。
【讨论】：
CROSS JOIN 运算产生一个表表达式（列的行）。集合运算笛卡尔积产生一组对。
SELECT * FROM... 提出类似的论点（也许你会这样做）。但它存在于语言中，存在于每个 SQL 实现中，而且我经常使用它（我打赌你也会这样做！）提示并非所有代码都是生产代码。
@outis 的回答很好：关于关系的简洁和正确。
但是，SQL 的情况稍微复杂一些。
考虑通常的suppliers and parts database，但在 SQL 中实现：
SELECT * FROM S NATURAL JOIN SP;
将返回带有列的结果集**
SNO, SNAME, STATUS, CITY, PNO, QTY
在两个表中具有相同名称的列上执行连接，SNO。请注意，结果集有六列，并且只包含一列SNO。
现在考虑一个 theta eqijoin，其中连接的列名必须明确指定（加上范围变量 S 和 SP 是必需的）：
SELECT * FROM S JOIN SP ON S.SNO = SP.SNO;
结果集将有七列，其中两列是SNO。结果集的名称是 SQL 标准所称的“依赖于实现”，但可能如下所示：
SNO, SNAME, STATUS, CITY, SNO, PNO, QTY
或者这个
S.SNO, SNAME, STATUS, CITY, SP.SNO, PNO, QTY
换句话说，SQL 中的NATURAL JOIN 可以考虑从结果集中删除具有重复名称的列（可惜不会删除重复的行-您必须记住将SELECT 更改为SELECT DISTINCT 自己）。
** 我不太清楚SELECT * FROM table_expression; 的结果是什么。我知道这不是关系，因为除其他原因外，它可以包含具有重复名称的列或没有名称的列。我知道它不是一个集合，因为除其他原因外，列顺序很重要。它甚至不是 SQL 表或 SQL 表表达式。我称之为结果集。
【讨论】：
JOIN ... USING(...) 也是如此。
SELECT * FROM table_expression;的结果是什么”？
Natural 是 Equi 的一个子集，它是 Theta 的一个子集。
如果我在 theta 连接上使用 = 符号，它是否与刚才一样 使用自然连接？？？
不一定，但它会是一个 Equi。自然意味着您在所有类似命名的列上进行匹配，Equi 仅意味着您仅使用“=”（而不是“小于”、喜欢等）
不过，这只是纯粹的学术界，您可以使用关系数据库多年，却从未听说过有人使用这些术语。
【讨论】：
Theta 加入：
当您使用任何运算符（例如，=、、>= 等）进行联接查询时，该联接查询属于 Theta 联接。
等值联接：
当您仅使用相等运算符进行连接查询时，该连接查询属于 Equi 连接。
例子：
> SELECT * FROM Emp JOIN Dept ON Emp.DeptID = Dept.DeptID; > SELECT * FROM Emp INNER JOIN Dept USING (DeptID) 这将显示： _________________________________________________ |员工姓名 | Emp.DeptID |部门名称 |部门ID | | | | | |注意：Equi 连接也是 theta 连接！
自然连接：
一种 Equi Join 类型，通过比较两个表中的所有相同名称列隐式发生。
注意：这里，每对同名列的连接结果只有一列。
例子
SELECT * FROM Emp NATURAL JOIN Dept这将显示： ______________________________ |部门ID |员工姓名 |部门名称 | | | | |
【讨论】：
两个表的笛卡尔积给出了所有可能的元组组合，就像数学中的例子一样，两个集合的叉积。因为很多时候有一些垃圾值在内存中也占据了不必要的空间，所以这里加入来救援，它只给出那些必需且有意义的属性值的组合。
内连接在表中给出了重复的字段两次，而这里的自然连接通过过滤重复的列并仅显示一次来解决问题。否则，两者的工作方式相同。自然连接更有效，因为它保留了内存。此外，在自然连接中删除了冗余。
两个表的equi 连接使得它们只显示与其他表中的值匹配的那些元组。例如 ： 让 new1 和 new2 成为两个表。如果 sql 查询 select * from new1 join new2 on new1.id = new.id （id 是两个表中的同一列）然后从 new2 表开始并加入与第二个表中的 id 匹配的连接。此外，非等号连接没有相等运算符，它们有 和之间的运算符。
theta join 由所有比较运算符组成，包括相等和其他 比较运算符。当它使用相等（=）运算符时，它被称为 equi join 。
【讨论】：
自然连接：当两个关系中至少有一个共同属性时，自然连接是可能的。
Theta Join：当两个人在特定条件下行动时，Theta Join 是可能的。
Equi Join：当两个人在公平条件下行动时，Equi 是可能的。它是一种类型的 theta 连接。
【讨论】：