算法：使用最大流量计算正确的矩阵值

Question

给定一个矩阵 A，大小为 N x M，N,M <= 100。矩阵 A 由整数值 A(i,j) 组成，其中 i 和 j 是 0 < i < M 和 0 < j < N。我还得到了矩阵的“正确”列和和行和。给定的值 A(i,j) 是“不正确的”（它们与“正确的”总和不匹配），因此我们提供了相应的“不正确”值 B(i,j)，其中 B(i,j) 范围从 0 到 A(i,j)。

目标是计算矩阵中“正确”的值 C(i,j)，其中A(i,j) - C(i,j) =< B(i,j)，C(i,j) 值也必须与给定的行和列总和匹配。我想我必须使用最大流量，但我的尝试没有奏效。我怎样才能做到这一点？

Answer 1

这里我只是举个例子。

matrix A:
 10 10 10
 10 10 10
 10 10 10

matrix B:
  2  3  4
  5  6  4
  3  2  1

matrix A-B:
  8  7  6
  5  4  6
  7  8  9

所以你有公式 A[i,j] - C[i,j]

现在让我们找出要添加的内容和位置。

假设您有以下行和列大小：

c1 = 20/20
c2 = 19/21
c3 = 21/24

r1 = 21/21
r2 = 15/17
r3 = 24/27

上面我写的东西是这样的：

(current flow through column or row) / (goal flow through column or row).

现在让我们建立一个网络：

现在请注意，行的总和 = 列的总和。因此，您尝试将“给定的条目总和” - “当前的条目总和”从“s”推到“t”。

现在，让我们假设节点按自然数从左到右枚举。现在，当你从第二级节点向第三级节点推送一些东西时，比如说，你从节点 i 向节点 j 推送一些东西，你还将推送的任何东西添加到 NewMatrix[i,j]，其中 NewMatrix 是矩阵 AB你得到你想要的矩阵。

还要注意，在开始时，在矩阵 AB 中，你有最小的 C[i,j]，你必须从 A[i,j] 中减去它才能得到小于或等于 B[i,j] 的东西，现在您在 C[i,j] 中添加了一些东西，不等式 A[i,j]-C[i,j]