将while循环变成数学方程式？答案

【问题标题】：Turn while loop into math equation?将while循环变成数学方程式？
【发布时间】：2010-09-28 09:18:40
【问题描述】：

我的程序中有两个简单的 while 循环，我觉得应该是数学方程，但我正在努力转换它们：

float a = someValue;
int b = someOtherValue;
int c = 0;

while (a <= -b / 2) {
    c--;
    a += b;
}
while (a >= b / 2) {
    c++;
    a -= b;
}

此代码按原样工作，但我觉得它可以简化为数学方程式。这里的想法是此代码采用偏移量 (someValue) 并调整坐标 (c) 以最小化与瓦片中心的距离（大小为 someOtherValue）。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

很好的洞察力——看到这可以浓缩为一个简单的公式。
有人能告诉我这两个循环是做什么的吗？我一辈子都想不通
想想一个 'b' 分开的平铺： ...|....|....|....|... 其中的平铺被编号，第 0 个平铺以 0 为中心（从 -b/2 到 b/2）。这段代码想要找出“a”在哪个图块中。第一个循环移动 a 直到它不在中心图块的左边，第二个循环直到它不在右边。
@litb：这可能会有所帮助：想想你将如何仅使用加法和减法而不使用内置的 % 或分工。

标签： c++ c algorithm math

【解决方案1】：

可以证明以下是正确的：

c = floor((a+b/2)/b)
a = a - c*b

注意 floor 表示向下舍入，朝向负无穷：而不是朝向 0。（例如 floor(-3.1)=-4。floor() 库函数将执行此操作；请确保不要只转换为 int，这通常会向 0 舍入。）

大概b 是严格正数，否则两个循环都不会终止：添加b 不会使a 变大，减去b 不会使a 变小。有了这个假设，我们可以证明上面的代码有效。（而且 paranoidgeek 的代码也几乎是正确的，只是它使用强制转换为 int 而不是 floor。）

巧妙的证明方法：该代码从a 中添加或减去b 的倍数，直到a 在[-b/2,b/2) 中，您可以将其视为从a/b 中添加或减去整数，直到a/b 在[-1/2,1/2)，即直到(a/b+1/2)（称为x）在[0,1) 中。因为你只是用整数改变它，x 的值不会改变mod 1，即它转到它的 remainder mod 1，即x-floor(x)。所以你做的有效减法数（即c）是floor(x)。

繁琐的证明方式：

在第一个循环结束时，c 的值是循环运行次数的负数，即：

0 如果：a > -b/2 a+b/2 > 0
-1 如果：-b/2 ≥ a > -3b/2 0 ≥ a+b/2 > -b 0 ≥ x > -1
-2 如果：-3b/2 ≥ a > -5b/2 -b ≥ a+b/2 > -2b -1 ≥ x > -2 等等，

其中x = (a+b/2)/b，所以c 是：如果x>0 则为0，否则为“ceiling(x)-1”。如果第一个循环完全运行，那么在 最后一次执行循环之前它是 ≤ -b/2，所以现在它是 ≤ -b/2+b，即 ≤ b/2 .根据它是否恰好是 b/2（即，您开始时 x 是否恰好是一个非正整数），第二个循环恰好运行 1 次或 0，并且 c 是上限（x）或天花板（x）-1。这样就解决了第一个循环运行时的情况。

如果第一个循环没有运行，那么第二个循环结束时 c 的值为：

0 如果：a a-b/2
1 如果：b/2 ≤ a 0 ≤ a-b/2 0 ≤ y
2 如果：3b/2 ≤ a b ≤ a-b/2 1 ≤ y

其中y = (a-b/2)/b，因此 c 为：如果 ya 现在肯定是

所以你可以为c写一个表达式为：

x = (a+b/2)/b
y = (a-b/2)/b
c = (x≤0)*(ceiling(x) - 1 + (x is integer))
   +(y≥0)*(1 + floor(y))

当然，接下来你会注意到(ceiling(x)-1+(x is integer)) 与floor(x+1)-1 相同，即floor(x)，而y 实际上是x-1，所以(1+floor(y))=floor(x)，至于条件：
当x≤0时，不可能是(y≥0)，所以c只是floor(x)的第一项，
当 0 c 是 0,
当 1 ≤ x 时，只有 0≤y，所以 c 只是第二项，又是 floor(x)。所以 c = floor(x) 在所有情况下。

【讨论】：

优秀的答案。它运行良好，但我需要阅读几次才能完全理解它。
我的荣幸 :) 实际上我想它可能会更简单一些......我只是按照我第一次解决它的方式编写它。如果有什么令人困惑的地方，请指出，我会再看一遍。
您的版本绝对不等同于 OP 的代码，因为 OP 的代码可能包含无限循环，而您的总是终止。
您的分析是错误的，因为它假设浮点数遵守代数规则。他们没有。特别是a+b==a 可能是b!=0。
试试a=0x10000000 和b=1。然后假设 IEEE 浮点数，a-b==a。我同意您的回答与 OP 可能想要的一致，但重要的是要意识到浮点运算通常不会给您想要的东西。你的代码版本，而不是翻译，更像是一个错误修复。

【解决方案2】：

c = (int)((a - (b / 2)) / b + 1);
a -= c * b;

测试用例http://pastebin.com/m1034e639

【讨论】：

使用 floor 而不是通过将小数部分转换为整数来删除小数部分，使其适用于负值。

【解决方案3】：

我想你想要这样的东西：

c = ((int) a + b / 2 * sign(a)) / b

除了 b 为奇数的某些情况外，这应该与您的循环匹配，因为当 b 为奇数时，从 -b/2 到 b/2 的范围小于 b。

【讨论】：

“sin”，不是“sign”，但是是的，你想要一个 sin 波函数。
我认为 Dave 的真正意思是 sign()，定义为： int sign(x) { return x > 0 ? 1 : x
不正确：举个简单的例子，取 a = b = 10，然后两个循环都不会运行（所以 c=0），但这个答案会说 c=1。
Shreevatsar：这不是真的。如果a = b = 10，那么a >= b/2，所以后面的循环会运行一次，c = 1。
哦，对不起，我没有想清楚。对于 a=b=10，这表示 c=((int) 10+5)/10，实际上是 1.5 :-) 但是如果 a 和 b 是整数，那么“/”表示整数除法，那么对于正数 a ，它是 floor(a+b/2)/b，所以对，对于负 a，它是 ceil(ab/2)/b=floor((a+b/2)/b) except i> 当 b|(ab/2).

【解决方案4】：

假设 b 为正，abs(c) = floor((abs(a) - b/2) / b)。然后，将 a 的符号应用到 c。

【讨论】：