包含来自给定集合的所有字符串作为子字符串的最佳字符串

Question

我正在处理一些需要大型（恒定）位数组的代码。由于它包含较大的常量跨度（全为 0 或全为 1），因此我将其分解为一个允许省略重复跨度（常量或其他）的两级表，如下所示：

bitn = table2[table1[n/256]+n%256/8]&1<<n%8

此时，table1 的条目都是 32 的倍数（256 位），但我想知道是否可以通过允许 table2 中的跨度重叠来实现显着节省。所以我的问题是（以抽象形式陈述）：

给定 N 个长度为 K 的字符串 { S_n : n=1..N }，是否有一种有效的方法可以找到最短长度的字符串 S 使得每个 S_n 都是 S 的子字符串？

（请注意，由于我可能希望保持我的位数组 8 位对齐，我对问题的特定应用可能是处理 8 位字节的字符串而不是位的字符串，但是这个问题在任何情况下都是有意义的字符的意义——位、字节或其他。）

Answer 1

关于具有大段常量的大型常量位数组，这是设计表格供您考虑的另一种方法（我不知道您的确切需求，所以我不能说它是否有帮助或不是）。

考虑类似radix tree。为了方便解释，让我定义 get 函数：

#define TYP_CONST
#define TYP_ARRAY

struct node {
    unsigned min;
    unsigned max;
    int typ;
    union {
        char *bits;
        int constant;
    } d;
    struct node *left;
    struct node *right;
}

struct bit_array {
    unsigned length;
    struct node *root;
}

int get(struct bit_array *b, unsigned ix)
{
    struct node *n = b->root;
    if (ix >= b->length)
        return -1;
    while (n) {
        if (ix > n->max) {
            n = n->right;
            continue;
        } else if (ix < n->min) {
            n = n->left;
            continue;
        }
        if (n->typ == TYP_CONST)
            return n->d.constant;
        ix -= n->min;
        return !!(n->d.bits[ix/8] & (1 << ix%8));
    }
    return -1;
}

用人类的话来说，你想在树中搜索你的比特。每个节点负责一定范围的位，您可以在范围内进行二进制搜索以找到您想要的范围。

找到范围后，有两个选项：常量或数组。如果常量，只需返回常量（为您节省大量内存）。如果是数组，则在位数组中进行数组查找。

您将有 O(log n) 的查找时间而不是 O(1).... 尽管它仍然应该非常快。

这里的困难在于设置适当的数据结构很烦人且容易出错。但是你说数组是恒定的，所以这可能不是问题。

Answer 2

首先，这个问题可以表述为一个 TSP。我们有一组节点（每个字符串都是一个节点），我们需要找到访问所有节点的路径。字符串 x 和 y 之间的距离定义为 len(xy)+len(y) 其中 xy 是同时具有 x 和 y 且以 x 开头的最优字符串（例如 x=000111, y=011100, xy=0001100 , 距离(x,y) = 8-6=2)。

请注意，这也符合三角不等式（distance(x,z)

此版本的 TSP 称为 (1,B)-ATSP。此类问题的分析及近似解见http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.20.3439。