费马素性检验答案

【问题标题】：Fermat primality test费马素性检验
【发布时间】：2013-03-03 03:19:15
【问题描述】：

我曾尝试为Fermat primality test 编写代码，但显然失败了。所以，如果我理解得很好：如果p 是素数，那么((a^p)-a)%p=0 其中p%a!=0。我的代码似乎没问题，因此很可能我误解了基础知识。我在这里错过了什么？

private bool IsPrime(int candidate)
    {
        //checking if candidate = 0 || 1 || 2
        int a = candidate + 1; //candidate can't be divisor of candidate+1
        if ((Math.Pow(a, candidate) - a) % candidate == 0) return true;
        return false;
    }

【问题讨论】：

“但显然失败了”。为何如此？哪个输入失败了？
除了非常小的输入外，您无法以这种方式实现模幂运算。它会很快溢出，并且对于任何不是 2 的幂的候选者来说都是非常具有破坏性的。你需要通过平方取幂，使用 64 位中间值。
@Kevin 尝试从 4 到 20。4 到 13 为真。 14到15是假的。 16 对。 17 到 20 错误。
@harold 如何处理？
所有素数都将满足该测试。并非所有通过测试的候选人都是素数。您必须测试许多as，然后才能说一个数字是可能素数，即使这样，您也会将一类合数（“卡迈克尔数”）误认为是素数。

标签： c# math primes

【解决方案1】：

阅读Fermat primality test 上的维基百科文章，您必须选择一个a，该a 比您正在测试的候选人少，而不是更多。

此外，正如 MattW 所评论的那样，仅测试一个 a 不会给你一个关于候选人是否是素数的结论性答案。您必须测试许多可能的as，然后才能确定一个数字可能是素数。即便如此，some numbers 可能看起来是素数，但实际上是合数。

【讨论】：

由于我们正在工作 mod candidate，candidate + 1 与 1 是一致的。这很糟糕 - 每个候选人都应该通过，因为 1 pow n = 1 for all n;测试开始失败的候选人> = 14是有限精度数学开始崩溃的标志。值得一提的是，15 pow 14 需要 54 位尾数，而 IEEE 双精度只有 52。

【解决方案2】：

您的基本算法是正确的，但如果您想对非平凡数字执行此操作，则必须使用比 int 更大的数据类型。

您不应该像以前那样实现模幂运算，因为中间结果很大。这是模幂运算的平方乘法算法：

function powerMod(b, e, m)
    x := 1
    while e > 0
        if e%2 == 1
            x, e := (x*b)%m, e-1
        else b, e := (b*b)%m, e//2
    return x

例如，437^13 (mod 1741) = 819。如果你使用上面显示的算法，没有中间结果会大于 1740 * 1740 = 3027600。但是如果你先进行取幂，中间结果为437^13 是 21196232792890476235164446315006597，你可能想避免。

即便如此，费马检验也不完美。有一些合数，即 Carmichael 数，无论您选择什么见证，它总是会报告质数。如果您想要更好的方法，请寻找 Miller-Rabin 测试。我在我的博客上谦虚地推荐this essay 使用素数编程。

【讨论】：

感谢算法。我知道测试不完善。
如果选择的碱基与数字不互质，卡迈克尔数将被检测为复合数。不幸的是，对于像211*421*631 这样的小数字来说，这已经不太可能很快发生了。

【解决方案3】：

您正在处理非常大的数字，并试图将它们存储在双精度数中，即只有 64 位。替身会尽力保持你的号码，但你会失去一些准确性。

另一种方法：

请记住，mod 运算符可以多次应用，但仍然给出相同的结果。因此，为避免获得大量数字，您可以在计算功率时应用 mod 运算符。

类似：

private bool IsPrime(int candidate)
{
    //checking if candidate = 0 || 1 || 2
    int a = candidate - 1; //candidate can't be divisor of candidate - 1

    int result = 1;
    for(int i = 0; i < candidate; i++)
    {
        result = result * a;

        //Notice that without the following line, 
        //this method is essentially the same as your own.
        //All this line does is keeps the numbers small and manageable.
        result = result % candidate;
    }

    result -= a;
    return result == 0;
}

【讨论】：