用于大量 C++ 的 Eratosthenes 筛

Question

就像question 一样，我也在研究 Eratosthenes 的筛子。同样来自“使用 c++ 的编程原理和实践”一书，第 4 章。我能够正确实现它，并且它的功能与练习所要求的完全一样。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    unsigned int amount = 0;

    cin >> amount;

    vector<int>numbers;

    for (unsigned int i = 0; i <= amount; i++) {
        numbers.push_back(i);
    }

    for (unsigned int p = 2; p < amount; p++) {
        if (numbers[p] == 0)
            continue;

        cout << p << '\n';

        for (unsigned int i = p + p; i <= amount; i += p) {
            numbers[i] = false;
        }
    }

    return 0;
}

现在，我将如何处理amount 输入中的实数？ unsigned int 类型应该允许我输入 2^32=4,294,967,296 的数字。但我不能，我的内存用完了。是的，我已经算过：存储 2^32 个 int 数量，每个 32 位。所以 32/8*2^32=16 GiB 的内存。我只有 4 GiB...

所以我在这里真正要做的是将非素数设置为零。所以我可以使用布尔值。但是，它们仍然需要 8 位，因此每个 1 字节。理论上我可以达到unsigned int (8/8*2^32=4 GiB) 的极限，将我的一些交换空间用于操作系统和开销。但是我有一台 x86_64 的 PC，那么大于 2^32 的数字呢？

知道素数是important in cryptography，一定有更有效的方法吗？还有没有办法优化找到所有这些素数所需的时间？

Answer 1

就存储而言，您可以使用std::vector<bool> 容器。由于它的工作原理，您必须以speed 换取存储空间。因为这实现了每个布尔值一位，所以您的存储效率提高了 8 倍。如果您的所有 RAM 都可用于这个程序，您应该可以获得接近 8*4,294,967,296 的数字。您唯一需要做的就是使用 unsigned long long 释放 64 位数字的可用性。

注意：使用下面的代码示例测试程序，amount 输入为 80 亿，导致程序运行时内存使用量约为 80 亿。 975 MiB，证明了理论数字。

您还可以获得一些时间，因为您可以一次声明完整的向量，无需迭代：vector<bool>numbers (amount, true); 创建一个 size 等于输入 amount 的向量，所有元素都设置为true。现在，您可以调整代码以将非素数设置为 false 而不是 0。

此外，一旦您按照 筛子 直到 amount 的平方根，所有保持 正确 的数字都是质数。插入if (p * p >= amount) 作为附加的continue 条件，就在您输出质数之后。此外，这对您的处理时间来说是一个不起眼的改进。

编辑：在最后一个循环中，p 可以平方，因为直到p 平方之前的所有数字都已被先前的数字证明不是素数。

你应该得到这样的结果：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    unsigned long long amount = 0;

    cin >> amount;

    vector<bool>numbers (amount, true);

    for (unsigned long long p = 2; p < amount; p++) {
        if ( ! numbers[p])
            continue;

        cout << p << '\n';

        if (p * p >= amount)
            continue;

        for (unsigned long long i = p * p; i <= amount; i += p) {
            numbers[i] = false;
        }
    }

    return 0;
}

Answer 2

你问了几个不同的问题。

对于高达 2**32 的素数，筛选是合适的，但您需要分段而不是在一个大博客中工作。我的回答 here 告诉我该怎么做。

对于大得多的密码素数，该过程是选择一个数字，然后使用概率测试（例如 Miller-Rabin 测试或 Baillie-Wagstaff 测试）对其进行质数测试。这个过程并不完美，有时可能会选择复合而不是素数，但这种情况非常罕见。