对于给定数 n（我们知道 n = p^a * q^b，对于一些素数 p,q 和一些整数 a,b）和给定数 φ(n) (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function) 求p,q,a 和 b。
问题是 n 和 φ(n) 有大约 200 位数字，因此算法必须非常快。 这似乎是一个非常困难的问题，我完全不知道如何使用 φ(n)。
如何解决这个问题？
【问题讨论】：
标签： algorithm discrete-mathematics factorization
对于n = p^a * q^b，总数为φ(n) = (p-1)*p^(a-1) * (q-1)*q^(b-1)。不失一般性，p < q。
所以gcd(n,φ(n)) = p^(a-1) * q^(b-1) 如果p 不除q-1 和gcd(n,φ(n)) = p^a * q^(b-1) 如果p 除q-1。
在第一种情况下，我们有n/gcd(n,φ(n)) = p*q 和φ(n)/gcd(n,φ(n)) = (p-1)*(q-1) = p*q + 1 - (p+q)，因此您有x = p*q = n/gcd(n,φ(n)) 和y = p+q = n/gcd(n,φ(n)) + 1 - φ(n)/gcd(n,φ(n))。然后找到p 和q 很简单：y^2 - 4*x = (q-p)^2、q = (y + sqrt(y^2 - 4*x))/2 和p = y-q。然后找到指数a 和b 很简单。
在第二种情况下，n/gcd(n,φ(n)) = q。然后你可以很容易地找到指数b，除以q，直到除法留下余数，从而得到p^a。将φ(n) 除以(q-1)*q^(b-1) 得到z = (p-1)*p^(a-1)。然后p^a - z = p^(a-1) 和p = p^a/(p^a-z)。找到指数a 再简单不过了。
因此，您仍需决定您拥有哪种情况。当且仅当 n/gcd(n,φ(n)) 是素数时，您有案例 2。
为此，您需要一个体面的素数测试。或者您可以先假设您有案例 1，如果不成功，则得出您有案例 2 的结论。
【讨论】：
p*q和p+q。从那时起，您只需将原料洗牌，直到得到想要的结果。
gcd(n,φ(n)) = p^(a-1) * q^b
p 和q 使得p < q，这不可能发生，q 不能除p-1。跨度>
p<q 假设。
尝试计算 n / (n - φ(n)) 是什么。
跟进：
n / (n - φ(n)) = pq。您只需将 n 除以 pq。
【讨论】：
φ(6) = 2, 6 - φ(6) = 4 甚至不除 6。
n / (n - φ(n)) = pq/(q+p-1)。我想这不是那么基本。