以素数为模的快速乘法和减法

Question

我需要优化一些代码，将整数向量（32 位）乘以模 p 标量（其中 p 是质数 (2^32)-5），然后从另一个模 p 向量中减去该向量.

代码如下：

public static void multiplyAndSubtract(long fragmentCoefficient, long[] equationToSubtractFrom, long[] equationToSubtract) {
    for (int i = 0; i < equationToSubtractFrom.length; i++) {
        equationToSubtractFrom[i] =  modP(equationToSubtractFrom[i] - multiplyModP(fragmentCoefficient, equationToSubtract[i]));
    }
}

我使用 long 是因为 Java 不支持无符号整数，但两个向量都是 mod p，因此您可以期望每个数字都是 0

有什么想法可以优化这个吗？ mod p 操作占用了大部分执行时间，因此优化此操作的一种方法可能是在乘法后不执行 modP，而仅在减法后执行。关于如何做到这一点的任何想法？

Answer 1

使用 2^32 = 5 (mod p) 可以加快计算速度并避免任何除法。

在乘法和减法之后，将结果分成低 (x%2^32) 和高 (x / 2^32) 部分。然后将高部分乘以 5 并与低部分相加。然后再次重复此过程。如果结果大于 p，则减去 p。对于否定结果，添加 p。

编辑：由于组合的乘法和减法可能会溢出，所以乘法的结果也应该取模 p。但上述过程只需一步即可：拆分、乘以 5 并相加。

Answer 2

我知道不使用除法或模数的两种方法：

方法一：不变乘法。 (see this paper)

这里的基本思想是预先计算和近似p 的倒数，这允许您只使用几个整数乘法来进行整数除法。然后你可以乘回并获得你的模数。这是更容易实现的方法。

方法二：（我常用的那个），是用浮点数。将数字转换为浮点数并乘以预先计算的倒数 p。然后四舍五入并转换回整数。这种方法更难正确，但根据我的经验，如果做得好，速度会更快。

除了预先计算整数或浮点数的倒数之外，这两种方法都不涉及除法。

这两种方法是否比直接使用% 更快，将取决于您实现它们的能力。所以我不能保证哪一个会更快。

Answer 3

e - (f * e mod p) mod p = (e-e f) mod p

见Wolfram Alpha。