我有一个数字的主要因素的 Python 列表。我如何（以python方式）找到所有因素？

Question

我正在研究一个需要对整数进行因式分解的 Project Euler 问题。我可以列出作为给定数字因子的所有素数的列表。算术基本定理意味着我可以使用这个列表推导出数字的每个因数。

我目前的计划是获取基素数列表中的每个数字并提高其幂，直到它不再是整数因子，才能找到每个素数的最大指数。然后，我将乘以质数-指数对的所有可能组合。

例如，对于 180：

Given: prime factors of 180: [2, 3, 5]
Find maximum exponent of each  factor: 
    180 / 2^1 = 90
    180 / 2^2 = 45
    180 / 2^3 = 22.5 - not an integer, so 2 is the maximum exponent of 2.

    180 / 3^1 = 60
    180 / 3^2 = 20
    180 / 3^3 = 6.6 - not an integer, so 2 is the maximum exponent of 3.

    180 / 5^1 = 36
    180 / 5^2 = 7.2 - not an integer, so 1 is the maximum exponent of 5.

接下来，将这些组合进行到最大指数以获得因子：

    2^0 * 3^0 * 5^0 = 1
    2^1 * 3^0 * 5^0 = 2
    2^2 * 3^0 * 5^0 = 4
    2^0 * 3^1 * 5^0 = 3
    2^1 * 3^1 * 5^0 = 6
    2^2 * 3^1 * 5^0 = 12
    2^0 * 3^2 * 5^0 = 9
    2^1 * 3^2 * 5^0 = 18
    2^2 * 3^2 * 5^0 = 36
    2^0 * 3^0 * 5^1 = 5
    2^1 * 3^0 * 5^1 = 10
    2^2 * 3^0 * 5^1 = 20
    2^0 * 3^1 * 5^1 = 15
    2^1 * 3^1 * 5^1 = 30
    2^2 * 3^1 * 5^1 = 60
    2^0 * 3^2 * 5^1 = 45
    2^1 * 3^2 * 5^1 = 90
    2^2 * 3^2 * 5^1 = 180

所以因子列表 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180]

这是我到目前为止的代码。两个问题：首先，我认为它根本不是 Pythonic。我想解决这个问题。其次，我真的没有 Python 的方式来完成组合的第二步。出于羞耻，我让你免于荒谬的循环。

n 是我们想要分解的数字。 listOfAllPrimes 是一个预先计算的最多 1000 万个素数的列表。

def getListOfFactors(n, listOfAllPrimes):
    maxFactor = int(math.sqrt(n)) + 1
    eligiblePrimes = filter(lambda x: x <= maxFactor, listOfAllPrimes)
    listOfBasePrimes = filter(lambda x: n % x ==0, eligiblePrimes)

    listOfExponents = [] #(do I have to do this?)
    for x in listOfBasePrimes:
        y = 1
        while (x**(y+1)) % n == 0:
            y += 1
        listOfExponents.append(y)

Answer 1

考虑简单地重复每个素因数是一个因数的次数，而不是指数列表。之后，处理生成的primefactors list-with-repetitions，itertools.combinations 正是您需要的——您只需要包含长度为 2 到 len(primefactors) - 1 的项目的组合（只有一个的组合是主要因素，所有因素都将是原始数字 - 如果您也想要这些，只需使用 range(1, len(primefactors) + 1) 而不是我的主要建议将使用的 range(2, len(primefactors))）。

结果中会出现重复（例如，6 将作为 12 的因子出现两次，因为后者的 primefactors 将是 [2, 2, 3]）当然可以按照通常的方式清除它们方式（例如sorted(set(results))）。

要在给定 listOfAllPrimes 的情况下计算 primefactors，请考虑以下示例：

def getprimefactors(n):
    primefactors = []
    primeind = 0
    p = listOfAllPrimes[primeind]
    while p <= n:
        if n % p == 0:
            primefactors.append(p)
            n //= p
        else:
            primeind += 1
            p = listOfAllPrimes[primeind]
    return primefactors

Answer 2

您可以使用itertools.combinations() 获取所有可能的因子组合，一旦您获得了重复质数列表，例如[2, 2, 3, 3, 5] 对应180。然后，只需将每个组合中的分量相乘即可获得一个因子。

Answer 3

这里有一个简单有效的解决原始问题的方法：

def getDivisors(n):
    divisors = []
    d = 1
    while d*d < n:
        if n % d == 0:
            divisors.append(d)
            divisors.append(n / d);
        d += 1
    if d*d == n:
        divisors.append(d)
    return divisors

输出列表未排序。如果你愿意，你可以让它更“pythonic”，不管这意味着什么。

Answer 4

您为什么要从一组素因数开始您的解决方案？当你分解一个数字时，你可以很容易地得到它的所有素因子（重复），并从中得到每个因子的指数。考虑到这一点，你可以这样写：

import itertools
prime_factors = get_prime_factors(180) 
# 2, 2, 3, 3, 5 
factorization = [(f, len(list(fs))) for (f, fs) in itertools.groupby(prime_factors)]
# [(2, 2), (3, 2), (5, 1)]
values = [[(factor**e) for e in range(exp+1)] for (factor, exp) in factorization]
# [[1, 2, 4], [1, 3, 9], [1, 5]]
print sorted(product(xs) for xs in itertools.product(*values))
# [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180]

get_prime_factors 和 product 在这里没有实现，但你明白了（两者都非常简单）

恕我直言，作为数学问题，欧拉问题可以使用函数式而不是命令式风格很好地解决（尽管我承认某些解决方案可能不会像期望的那样像 Python 那样）。

Answer 5

具有一些更酷的 Python 功能：

def factors( num ):
    for p in primes:
        if num==1: break # stop when num is 1
        while True: # these factors may be repeated 
            new, rest = divmod(num, p) # does div and mod at once
            if rest==0: # its divisible
                yield p # current prime is factor
                num = new # continue with the div'd number
            else:
                break # no factor so break from the while


print list(factors(2*2*3*3*5*7*11*11*13)) # [2, 2, 3, 3, 5, 7, 11, 11, 13] ofc

Answer 6

多合一的解决方案；即不需要现有的主要因素列表。

#!/usr/bin/python3 -O

from primegen import erat3 as generate_primes # see Note[1]
import operator as op, functools as ft, itertools as it

def all_factors(number):
    prime_powers= []

    for prime in generate_primes(): # for prime in listOfAllPrimes
        if prime > number: break

        this_prime_powers= [1]
        new_number, modulo= divmod(number, prime)

        while not modulo:
            number= new_number
            this_prime_powers.append(this_prime_powers[-1] * prime)
            new_number, modulo= divmod(number, prime)

        if len(this_prime_powers) > 1:
            prime_powers.append(this_prime_powers)

    # at this point:
    # if number was 360, prime_powers is [[1, 2, 4, 8], [1, 3, 9], [1, 5]]
    # if number was 210, prime_powers is [[1, 2], [1, 3], [1, 5], [1, 7]]

    return sorted(
        ft.reduce(op.mul, combination, 1)
        for combination in it.product(*prime_powers))

if __name__ == "__main__":
    def num_result(number):
        return number, all_factors(number)
    print(num_result(360))
    print(num_result(210))
    print(num_result(7))

注意[1]：作为素数生成器，您可以从How to implement an efficient infinite generator of prime numbers in Python? 中选择一个或使用您自己的（例如您的listOfAllPrimes）。

这会产生一个完整的因子列表，即包括 1 和 number 参数本身。如果你想省略这些，你可以使用all_factors(number)[1:-1]。

$ allfactors.py 
(360, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360])
(210, [1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210])
(7, [1, 7])