棘手的谷歌面试问题

Question

我的一个朋友正在面试一份工作。其中一个面试问题让我思考，只是想要一些反馈。

有 2 个非负整数：i 和 j。给定以下等式，找到一个（最优）解来迭代 i 和 j，从而使输出排序。

2^i * 5^j

所以前几轮看起来像这样：

2^0 * 5^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
2^4 * 5^0 = 16
2^2 * 5^1 = 20
2^0 * 5^2 = 25

尽我所能，我看不到模式。你的想法？

Answer 1

Dijkstra 在“A Discipline of Programming”中得出了一个雄辩的解决方案。他将问题归咎于海明。 这是我对 Dijkstra 解决方案的实现。

int main()
{
    const int n = 20;       // Generate the first n numbers

    std::vector<int> v(n);
    v[0] = 1;

    int i2 = 0;             // Index for 2
    int i5 = 0;             // Index for 5

    int x2 = 2 * v[i2];     // Next two candidates
    int x5 = 5 * v[i5];

    for (int i = 1; i != n; ++i)
    {
        int m = std::min(x2, x5);
        std::cout << m << " ";
        v[i] = m;

        if (x2 == m)
        {
            ++i2;
            x2 = 2 * v[i2];
        }
        if (x5 == m)
        {
            ++i5;
            x5 = 5 * v[i5];
        }
    }

    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

Answer 2

这是一种更精致的方法（比我之前的答案更精致，即）：

想象数字被放置在一个矩阵中：

     0    1    2    3    4    5   -- this is i
----------------------------------------------
0|   1    2    4    8   16   32
1|   5   10   20   40   80  160
2|  25   50  100  200  400  800
3| 125  250  500 1000 2000 ...
4| 625 1250 2500 5000 ...
j on the vertical

您需要做的是“遍历”这个矩阵，从(0,0) 开始。您还需要跟踪您可能的下一步行动。当您从(0,0) 开始时，您只有两个选择：(0,1) 或(1,0)：由于(0,1) 的值较小，您选择它。然后为您的下一个选择 (0,2) 或 (1,0) 做同样的事情。到目前为止，您拥有以下列表：1, 2, 4。你的下一步是(1,0)，因为那里的值小于(0,3)。但是，您现在有三个可供选择：(0,3)、(1,1) 或 (2,0)。

您不需要矩阵来获取列表，但您确实需要跟踪所有选择（即当您达到 125+ 时，您将有 4 个选择）。

Answer 3

使用最小堆。

放置 1。

提取-最小。假设你得到 x。

将 2x 和 5x 推入堆中。

重复。

您可以存储 (i,j) 并使用自定义比较函数，而不是存储 x = 2^i * 5^j。

Answer 4

基于 FIFO 的解决方案需要更少的存储容量。 Python 代码。

F = [[1, 0, 0]]             # FIFO [value, i, j]
i2 = -1; n2 = n5 = None     # indices, nexts
for i in range(1000):       # print the first 1000
    last = F[-1][:]
    print "%3d. %21d = 2^%d * 5^%d" % tuple([i] + last)
    if n2 <= last: i2 += 1; n2 = F[i2][:]; n2[0] *= 2; n2[1] += 1
    if n5 <= last: i2 -= 1; n5 = F.pop(0); n5[0] *= 5; n5[2] += 1
    F.append(min(n2, n5))

输出：

  0.                     1 = 2^0 * 5^0
  1.                     2 = 2^1 * 5^0
  2.                     4 = 2^2 * 5^0
 ...
998. 100000000000000000000 = 2^20 * 5^20
999. 102400000000000000000 = 2^27 * 5^17

Answer 5

这在函数式语言中很容易做到O(n)。 2^i*5^j 的列表l 可以简单地定义为1，然后将2*l 和5*l 合并。这是它在 Haskell 中的样子：

merge :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
merge (a:as) (b:bs)   
  | a < b   = a : (merge as (b:bs))
  | a == b  = a : (merge as bs)
  | b > a   = b : (merge (a:as) bs)

xs :: [Integer]
xs = 1 : merge (map(2*)xs) (map(5*)xs)

merge 函数在恒定时间内为您提供了一个新值。 map 也是如此，l 也是如此。

Answer 6

您必须跟踪它们的各个指数，以及它们的总和是多少

所以你从f(0,0) --> 1开始 现在你必须增加其中之一：

f(1,0) = 2
f(0,1) = 5

所以我们知道 2 是下一个 - 我们也知道我们可以增加 i 的指数直到总和超过 5。

你一直这样来回走动，直到达到你想要的回合数。

Answer 7

使用动态编程，您可以在 O(n) 中做到这一点。基本事实是，i 和 j 的任何值都不能给我们 0，要得到 1，这两个值都必须为 0；

TwoCount[1] = 0
FiveCount[1] = 0

// function returns two values i, and j
FindIJ(x) {
    if (TwoCount[x / 2]) {
        i = TwoCount[x / 2] + 1
        j = FiveCount[x / 2]
    }
    else if (FiveCount[x / 5]) {
        i = TwoCount[x / 2]
        j = FiveCount[x / 5] + 1
    }
}

每当您调用此函数时，检查是否设置了 i 和 j，如果它们不为空，则填充 TwoCount 和 FiveCount

---

C++ 答案。抱歉编码风格不好，但我很着急:(

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>

int * TwoCount;
int * FiveCount;

using namespace std;

void FindIJ(int x, int &i, int &j) {
        if (x % 2 == 0 && TwoCount[x / 2] > -1) {
                cout << "There's a solution for " << (x/2) << endl;
                i = TwoCount[x / 2] + 1;
                j = FiveCount[x / 2];
        } else if (x % 5 == 0 && TwoCount[x / 5] > -1) {
                cout << "There's a solution for " << (x/5) << endl;
                i = TwoCount[x / 5];
                j = FiveCount[x / 5] + 1;
        }    
}

int main() {
        TwoCount = new int[200];
        FiveCount = new int[200];

        for (int i = 0; i < 200; ++i) {
                TwoCount[i] = -1;
                FiveCount[i] = -1;
        }

        TwoCount[1] = 0;
        FiveCount[1] = 0;

        for (int output = 2; output < 100; output++) {
                int i = -1;
                int j = -1;
                FindIJ(output, i, j);
                if (i > -1 && j > -1) {
                        cout << "2^" << i << " * " << "5^" 
                                     << j << " = " << output << endl;
                        TwoCount[output] = i;
                        FiveCount[output] = j;
                }
        }    
}

显然，您可以使用数组以外的数据结构来动态增加存储空间等。这只是证明它有效的草图。

Answer 8

为什么不尝试从另一个方向看这个。使用计数器根据原始公式测试可能的答案。抱歉，伪代码。

for x = 1 to n
{
  i=j=0
  y=x
  while ( y > 1 )
  {
    z=y
    if y divisible by 2 then increment i and divide y by 2
    if y divisible by 5 then increment j and divide y by 5

    if y=1 then print i,j & x  // done calculating for this x

    if z=y then exit while loop  // didn't divide anything this loop and this x is no good 
  }
}

Answer 9

This 是 OEIS 的相关条目。

似乎可以通过生成前几个术语来获得有序序列，比如说

1 2 4 5

然后，从第二项开始，乘以 4 和 5 得到接下来的两项

1 2 4 5 8 10

1 2 4 5 8 10 16 20

1 2 4 5 8 10 16 20 25

等等……

直觉上，这似乎是正确的，但当然缺少证据。

Answer 10

您知道 log_2(5)=2.32。由此我们注意到 2^2 5。

现在看一个可能答案的矩阵：

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   4   8  16  32
 1   5  10  20  40  80 160 
 2  25  50 100 200 400 800
 3 125 250 500 ...

现在，对于这个例子，按顺序选择数字。排序是：

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   3   5   7  10
 1   4   6   8  11  14  18
 2   9  12  15  19  23  27
 3  16  20  24...

请注意，每一行在开始它的行后面开始 2 列。例如，i=0 j=1 直接出现在 i=2 j=0 之后。

因此，我们可以从这个模式推导出的算法是（假设 j>i）：

int i = 2;
int j = 5;
int k;
int m;

int space = (int)(log((float)j)/log((float)i));
for(k = 0; k < space*10; k++)
{
    for(m = 0; m < 10; m++)
    {
        int newi = k-space*m;
        if(newi < 0)
            break;
        else if(newi > 10)
            continue;
        int result = pow((float)i,newi) * pow((float)j,m);
        printf("%d^%d * %d^%d = %d\n", i, newi, j, m, result);
    }
}   

注意：此处的代码将 i 和 j 的指数值限制为小于 10。您可以轻松扩展此算法以适应任何其他任意范围。

注意：对于前 n 个答案，此算法的运行时间为 O(n)。

注意：此算法的空间复杂度为 O(1)

Answer 11

我的实现基于以下想法：

• 使用两个队列 Q2 和 Q5，均以 1 初始化。我们将保持这两个队列的排序顺序。
• 在每一步，从 Q2 或 Q5 中取出最小数字元素 MIN 并打印它。如果 Q2 和 Q5 都具有相同的元素 - 将两者都删除。打印此号码。这基本上是两个排序数组的合并 - 在每一步中选择最小的元素并前进。
• 将 MIN*2 排入 Q2 并将 MIN*5 排入 Q5。此更改不会破坏正在排序的 Q2/Q5 的不变量，因为 MIN 高于之前的 MIN 数字。

例子：

Start with 1 and 1 (to handle i=0;j=0 case):
  Q2: 1
  Q5: 1
Dequeue 1, print it and enqueue 1*2 and 1*5:
  Q2: 2
  Q5: 5
Pick 2 and add 2*2 and 2*5:
  Q2: 4
  Q5: 5 10
Pick 4 and add 4*2 and 4*5:
  Q2: 8
  Q5: 5 10 20
....

Java 代码：

public void printNumbers(int n) {
    Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
    Queue<Integer> q5 = new LinkedList<Integer>();
    q2.add(1);
    q5.add(1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a = q2.peek();
        int b = q5.peek();
        int min = Math.min(a, b);
        System.out.println(min);
        if (min == a) {
            q2.remove();
        }
        if (min == b) {
            q5.remove();
        }
        q2.add(min * 2);
        q5.add(min * 5);
    }
}

Answer 12

计算结果并将它们与i 和j 的值一起放入排序列表中

Answer 13

由 Edsger Dijkstra (http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF) 的 user515430 实现的算法可能是你能得到的最快的。我将每个2^i * 5^j 形式的号码称为“特殊号码”。现在 vlads 的答案将是 O(i*j)，但使用双重算法，一个生成特殊数字 O(i*j)，另一个对它们进行排序（根据链接的文章还有 O(i*j)。

但是让我们检查一下 Dijkstra 的算法（见下文）。在这种情况下，n 是我们生成的特殊数字的数量，因此等于i*j。我们循环一次，1 -> n，在每个循环中我们执行一个恒定的动作。所以这个算法也是O(i*j)。还有一个非常快的常数。

我在 C++ 中使用 GMP（C++ 包装器）实现，以及对 boost::lexical_cast 的依赖，尽管可以轻松删除（我很懒，谁不使用 Boost？）。使用g++ -O3 test.cpp -lgmpxx -o test 编译。在 Q6600 Ubuntu 10.10 上，time ./test 1000000 提供 1145ms。

#include <iostream>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
#include <gmpxx.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    mpz_class m, x2, x5, *array, r;
    long n, i, i2, i5;

    if (argc < 2) return 1;

    n = boost::lexical_cast<long>(argv[1]);

    array = new mpz_class[n];
    array[0] = 1;

    x2 = 2;
    x5 = 5;
    i2 = i5 = 0;

    for (i = 1; i != n; ++i) {
        m = std::min(x2, x5);

        array[i] = m;

        if (x2 == m) {
            ++i2;
            x2 = 2 * array[i2];
        }

        if (x5 == m) {
            ++i5;
            x5 = 5 * array[i5];
        }
    }

    delete [] array;
    std::cout << m << std::endl;

    return 0;
}

Answer 14

如果您绘制一个以 i 为行、j 为列的矩阵，您可以看到该模式。从 i = 0 开始，然后向上移动 2 行并向右 1 列遍历矩阵，直到到达矩阵的顶部 (j >= 0)。然后去 i + 1 等...

所以对于 i = 7，你会这样旅行：

7, 0 -> 5, 1 -> 3, 2 -> 1, 3

对于 i = 8：

8, 0 -> 6, 1 -> 4, 2 -> 2, 3 -> 0, 4

这是在 Java 中直到 i = 9。它打印矩阵位置 (i, j) 和值。

for(int k = 0; k < 10; k++) {

    int j = 0;

    for(int i = k; i >= 0; i -= 2) {

        int value = (int)(Math.pow(2, i) * Math.pow(5, j));
        System.out.println(i + ", " + j + " -> " + value);
        j++;
    }
}

Answer 15

我的直觉：

如果我取初始值为 1，其中 i=0，j=0，那么 我可以将下一个数字创建为 (2^1)(5^0)， (2^2)(5^0), (2^0)*(5^1), ... 即 2,4,5 ..

假设我的号码是 x。然后我可以通过以下方式创建下一个数字：

• x * 2
• x * 4
• x * 5

解释：

Since new numbers can only be the product with 2 or 5.
But 4 (pow(2,2)) is smaller than 5, and also we have to generate 
Numbers in sorted order.Therefore we will consider next numbers
be multiplied with 2,4,5.
Why we have taken x*4 ? Reason is to pace up i, such that it should not 
be greater than pace of j(which is 5 to power). It means I will 
multiply my number by 2, then by 4(since 4 < 5), and then by 5 
to get the next three numbers in sorted order.

测试运行

We need to take an Array-list of Integers, let say Arr.

Also put our elements in Array List<Integers> Arr.
Initially it contains Arr : [1]

• 让我们从 x = 1 开始。

  接下来的三个数字是1*2, 1*4, 1*5 [2,4,5]； Arr[1,2,4,5]

• 现在 x = 2

  接下来的三个数字是 [4,8,10] {由于 4 已经出现，我们将 忽略它} [8,10]; Arr[1,2,4,5,8,10]

• 现在 x =4

  接下来的三个数字 [8,16,20] {8 已经发生忽略它} [16,20] Arr[1,2,4,5,8,10,16,20]

• x = 5

  接下来的三个数字 [10,20,25] {10,20} 已经添加了 [25] Arr[1,2,4,5,8,10,16,20,25]

终止条件

 Terminating condition when Arr last number becomes greater 
 than (5^m1 * 2^m2), where m1,m2 are given by user.

分析

 Time Complexity : O(K) : where k is numbers possible between i,j=0 to 
 i=m1,j=m2.
 Space Complexity : O(K)

Answer 16

只是好奇下周会发生什么，发现了这个问题。

我认为，这个想法是 2^i 不会像 5^j 那样大步增加。所以只要下一个 j 步不会变大，就增加 i。

C++ 中的示例（Qt 是可选的）：

QFile f("out.txt"); //use output method of your choice here
f.open(QIODevice::WriteOnly);
QTextStream ts(&f);

int i=0;
int res=0;
for( int j=0; j<10; ++j )
{
    int powI = std::pow(2.0,i );
    int powJ = std::pow(5.0,j );
    while ( powI <= powJ  ) 
    {
        res = powI * powJ;
        if ( res<0 ) 
            break; //integer range overflow

        ts<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<res<<"\n";
        ++i;
        powI = std::pow(2.0,i );

    }
}

输出：

i   j   2^i * 5^j
0   0   1
1   1   10
2   1   20
3   2   200
4   2   400
5   3   4000
6   3   8000
7   4   80000
8   4   160000
9   4   320000
10  5   3200000
11  5   6400000
12  6   64000000
13  6   128000000
14  7   1280000000

Answer 17

这是我的解决方案

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N_VALUE 5
#define M_VALUE  5

int n_val_at_m_level[M_VALUE];

int print_lower_level_val(long double val_of_higher_level, int m_level)
{
int  n;
long double my_val;


for( n = n_val_at_m_level[m_level]; n <= N_VALUE; n++) {
    my_val =  powl(2,n) * powl(5,m_level);
    if(m_level != M_VALUE && my_val > val_of_higher_level) {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
    if( m_level != 0) {
        print_lower_level_val(my_val, m_level - 1);
    }
    if(my_val < val_of_higher_level || m_level == M_VALUE) {
        printf("    %Lf n=%d m = %d\n", my_val, n, m_level);
    } else {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
 }
 n_val_at_m_level[m_level] = n;
 return 0;
 }


 main()
 {
    print_lower_level_val(0, M_VALUE); /* to sort 2^n * 5^m */
 }

结果：

1.000000 n = 0 m = 0
2.000000 n = 1 m = 0
4.000000 n = 2 m = 0
5.000000 n = 0 m = 1
8.000000 n = 3 m = 0
10.000000 n = 1 m = 1
16.000000 n = 4 m = 0
20.000000 n = 2 m = 1
25.000000 n = 0 m = 2
32.000000 n = 5 m = 0
40.000000 n = 3 m = 1
50.000000 n = 1 m = 2
80.000000 n = 4 m = 1
100.000000 n = 2 m = 2
125.000000 n = 0 m = 3
160.000000 n = 5 m = 1
200.000000 n = 3 m = 2
250.000000 n = 1 m = 3
400.000000 n = 4 m = 2
500.000000 n = 2 m = 3
625.000000 n = 0 m = 4
800.000000 n = 5 m = 2
1000.000000 n = 3 m = 3
1250.000000 n = 1 m = 4
2000.000000 n = 4 m = 3
2500.000000 n = 2 m = 4
3125.000000 n = 0 m = 5
4000.000000 n = 5 m = 3
5000.000000 n = 3 m = 4
6250.000000 n = 1 m = 5
10000.000000 n = 4 m = 4
12500.000000 n = 2 m = 5
20000.000000 n = 5 m = 4
25000.000000 n = 3 m = 5
50000.000000 n = 4 m = 5
100000.000000 n = 5 m = 5

Answer 18

我知道我可能错了，但这里有一个非常简单的启发式方法，因为它不涉及像 2、3、5 这样的许多数字。我们知道对于任何 i,j 2^i * 5^j 下一个序列将是 2^(i-2) * 5^(j+1)。作为一个 google q，它必须有一个简单的解决方案。

def func(i, j):
 print i, j, (2**i)*(5**j)

imax=i=2
j=0
print "i", "j", "(2**i)*(5**j)"

for k in range(20):
    func(i,j)
    j=j+1; i=i-2
    if(i<0):
        i = imax = imax+1
        j=0

这会产生如下输出：

i j (2**i)*(5**j)
2 0 4
0 1 5
3 0 8
1 1 10
4 0 16
2 1 20
0 2 25
5 0 32
3 1 40
1 2 50
6 0 64
4 1 80
2 2 100
0 3 125
7 0 128
5 1 160
3 2 200
1 3 250
8 0 256
6 1 320

Answer 19

如果您按照我们在表达式2^i * 5^j 中增加 i 或 j 时实际发生的情况，您要么乘以另一个 2 或另一个 5。如果我们将问题重述为 - 给定 i 和 j 的特定值，如何找到下一个更大的值，解决方案就变得显而易见了。

以下是我们可以非常直观地列举的规则：

• 如果表达式中有一对 2 (i > 1)，我们应该用 5 替换它们以获得下一个最大的数字。因此，i -= 2 和 j += 1。
• 否则，如果有5（j > 0），我们需要用三个2来代替。所以j -= 1 和i += 3。
• 否则，我们只需要再提供 2 以将值增加最小值。 i += 1。

这是 Ruby 中的程序：

i = j = 0                                                                       
20.times do                                                                     
  puts 2**i * 5**j

  if i > 1                                                                      
    j += 1                                                                      
    i -= 2                                                                      
  elsif j > 0                                                                   
    j -= 1                                                                      
    i += 3                                                                      
  else                                                                          
    i += 1                                                                      
  end                                                                                                                                                               
end

Answer 20

如果我们被允许使用 java Collection 那么我们可以在 O(n^2) 中获得这些数字

public static void main(String[] args) throws Exception {
    int powerLimit = 7;  
     int first = 2;
     int second = 5;
    SortedSet<Integer> set = new TreeSet<Integer>();

    for (int i = 0; i < powerLimit; i++) {
        for (int j = 0; j < powerLimit; j++) {
            Integer x = (int) (Math.pow(first, i) * Math.pow(second, j));
            set.add(x);
        }
    }

    set=set.headSet((int)Math.pow(first, powerLimit));

    for (int p : set)
        System.out.println(p);
}

这里 powerLimit 必须非常小心地初始化！！取决于你想要多少个数字。

Answer 21

这是我对 Scala 的尝试：

case class IndexValue(twosIndex: Int, fivesIndex: Int)
case class OutputValues(twos: Int, fives: Int, value: Int) {
  def test(): Boolean = {
    Math.pow(2,  twos) * Math.pow(5, fives) == value
  }
}

def run(last: IndexValue = IndexValue(0, 0), list: List[OutputValues] = List(OutputValues(0, 0, 1))): List[OutputValues] = {
  if (list.size > 20) {
    return list
  }

  val twosValue = list(last.twosIndex).value * 2
  val fivesValue = list(last.fivesIndex).value * 5

  if (twosValue == fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else if (twosValue < fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.twosIndex).fives)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = fivesValue, twos = list(last.fivesIndex).twos, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  }
}

val initialIndex = IndexValue(0, 0)
run(initialIndex, List(OutputValues(0, 0, 1))) foreach println

输出：

OutputValues(0,0,1)
OutputValues(1,0,2)
OutputValues(2,0,4)
OutputValues(0,1,5)
OutputValues(3,0,8)
OutputValues(1,1,10)
OutputValues(4,0,16)
OutputValues(2,1,20)
OutputValues(0,2,25)
OutputValues(5,0,32)
OutputValues(3,1,40)
OutputValues(1,2,50)
OutputValues(6,0,64)
OutputValues(4,1,80)
OutputValues(2,2,100)
OutputValues(0,3,125)
OutputValues(7,0,128)
OutputValues(5,1,160)
OutputValues(3,2,200)
OutputValues(1,3,250)
OutputValues(8,0,256)