模糊图自同构组成员资格测试答案

【问题标题】：Fuzzy graph automorphism group membership testing模糊图自同构组成员资格测试
【发布时间】：2012-03-15 07:53:39
【问题描述】：

假设我们得到一个彩色图表。令 G 为其自同构群。对于给定的 (x_i,y_i) 集合，我们如何测试 G 中是否存在使得 p(x_i) = y_i 的排列 p？具体假设G是6个元素的置换群。然后我想做的一个示例测试是 G 是否包含发送 2 到 2 和 3 到 5 的任何排列，我不在乎 1,4,5,6 最终在哪里。

您可以假设像 saucy 这样的程序可以有效地计算组 G 的一组生成器。

【问题讨论】：

我对群论生疏了，但这可能行得通：对称群可以通过转置生成（即生成器是仅转置相邻元素的排列）。您可以形成一个图，其中节点是元素，边是生成集的转置。那么如果两个元素之间有路径，那么它们会相互映射吗？
对于多个映射，可能要求每个映射的路径不相交？
我不认为任何对称群都可以通过转置生成。以 3 个元素的循环群为例。
见proofwiki.org/wiki/Generators_for_Symmetric_Group 的证明。在三个元素的情况下，可以生成组为：id、(12)、(23)、(12)(23)=(231)、(23)(12)=(132)、(12) (23)(12)=(13)。 [(xy) 表示 x 映射到 y 和 y 映射到 x；假定未显示的事物映射到它们自身。]
但是 3 个元素的循环组实际上并不包含排列 (12)，所以你生成的太多了。确实可以用转置生成对称群，但是图对称（即自同构）群不一定是对称群！事实上，我认为只有完全图或没有边的图才有 S_n 作为它们的自同构群。

标签： algorithm graph computer-science

【解决方案1】：

如果 G 是连通的并且您可以在不同的图上运行 saucy，则准备一个由 G 与其自身的不相交并集组成的彩色图 H，并为每个 i 重新着色顶点 x_i G 的第一个副本和 G 的第二个副本中的 y_i 的颜色 i 与 G 中的现有颜色不同。当且仅当存在 Aut( H) 将第一个副本中的顶点映射到第二个副本中的顶点。

或许还有基于Schreier-Sims的更直接的方法。

编辑：这是基于 SS 的方法可以采用的一种方式。假设有 p 对 x₁, y₁, ..., x_p, y_p。如果 p = 0，答案当然是是。否则，判断是否存在x_p到y_p的置换g，即x_p^g = y_p。如果不是这样，答案是否。如果是这样，当且仅当它可以写成 h g（g 后跟 h）的形式时，您正在寻找的排列存在，其中 h 属于 y_p 的稳定器。使用 SS 机器计算稳定器的生成器并返回递归计算的答案 x₁^g, y₁, ..., x_p-1^g, y_p-1.

【讨论】：

【解决方案2】：

我不知道您定义了什么样的方法或对象，但在伪代码中您正在查看类似以下内容：

foreach (permutation p in G) {
    if p.permute(2) == 2 && p.permute(3) == 5:
         return true
}
return false

假设 p 是一个具有置换方法的对象。

【讨论】：

对，这就是我想要实现的。我忘了提到效率；）这种蛮力算法实际上需要 O(n!) 时间，甚至不包括枚举自同构组元素的成本。因为我的图可以有 1000 多个顶点，所以这是不切实际的。
你如何存储排列？如果您将它们存储为关联数组或其他东西，它应该不会太昂贵 - p.permute(2) 应该就像在非常快的哈希图中调用 p[2] 一样。
我没有存储排列。该组隐式表示为彩色图的自同构组。由于这些图可能具有非常多的对称性，因此组 G 可能非常大（例如 100 个元素）。
我认为您将不得不为此使用数学，而不是软件优化。
我同意，只是优化蛮力算法并不能解决问题；需要不同的算法。