减排确定的下限是否严格？

Question

将问题 A 简化为问题 B 意味着问题 B 至少与 A 一样难，甚至更难。

如果我可以将排序简化为其他问题 X，我知道 X 的下限为 Omega(n log n)。 该下限是否保证是严格的下限？我怀疑它不应该是这样，因为只知道 X 至少和 A 一样难——这意味着它可能更难，因此会有不同的下限。

我的意思是说因为插入排序有一个最坏情况的紧上限 O(n^2) 是正确的，所以说它有一个最坏情况的运行时间 O 也是正确的(n^3)。这是正确的，但没有太大的实用价值——因为我们 99% 的时间都对紧边界感兴趣。

Answer 1

你说的很对，界不必紧。

例如，考虑一个简单的例子：在n 整数数组中找到最小的整数。每次都有O(1)空间和O(n)时间算法来解决这个问题。但是，这个问题通过减少O(1) 两种方式都归结为对整数数组进行排序的问题：

1. 将MININT 输入转换为SORTINT 输入：将MININT 的输入直接用于SORTINT。
2. 将SORTINT 输出转换为MININT 输出：返回已排序数组的第一个元素（假设元素按升序排序）。

在最坏情况的输入上，排序确实有 Omega(n) 的下限。这不是一个严格的界限； Omega(n lg n) 对于SORTINT 更严格。但是将MININT 减少为SORTINT 本身并不能告诉我们这一点。