根据索引查找金字塔行？答案

【问题标题】：Find row of pyramid based on index?根据索引查找金字塔行？
【发布时间】：2016-09-27 13:51:13
【问题描述】：

给定一个像这样的金字塔：

并且给定金字塔的索引i 其中i 表示金字塔的ith 数字，有没有办法找到ith 元素所属的行的索引？（例如i = 6,7,8,9，它在第 3 行，从第 0 行开始）

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我认为ith 元素属于nth 行，其中n 是n(n+1)/2 <= i < (n+1)(n+2)/2 的数量

例如，如果i = 6，那么n = 3，因为n(n+1)/2 <= 6 如果i = 8，那么n = 3，因为n(n+1)/2 <= 8

【讨论】：

【解决方案2】：

行号和三角形数之间存在联系。 nth triangular number，表示为 T_n，由 T_n = n(n-1)/2 给出。前几个三角形数是 0、1、3、6、10、15 等，如果您注意到，每行的开头由第 n 个三角形数给出（它们来自这个三角形的事实是这个名字的来源。）

实际上，这里的目标是确定最大的 n，使得 T_n ≤ i。无需进行任何巧妙的数学运算，您只需计算 T₀、T₁、T₂，即可在 O(√n) 时间内解决此问题，等等，直到你找到比我更大的东西。更好的是，您可以通过计算 T₁, T₂, T₄, T8 等，直到你过冲，然后在你找到的范围上进行二进制搜索。

或者，我们可以尝试直接解决这个问题。假设我们想找到 n 的选择使得

n(n + 1) / 2 = i

展开，我们得到

n² / 2 + n / 2 = i.

同样，

n² / 2 + n / 2 - i = 0,

或者，更容易：

n² + n - 2i = 0.

现在我们使用二次公式：

n = (-1 &pm; √(1 + 8i)) / 2

我们可以忽略的负根，所以我们想要的n值是

n = (-1 + √(1 + 8i)) / 2.

这个数字不一定是整数，所以要找到你想要的行，我们只需向下取整：

行 = ⌊(-1 + √(1 + 8i)) / 2⌋。

在代码中：

int row = int((-1 + sqrt(1 + 8 * i)) / 2);

让我们通过测试一下来确认它是否有效。 9去哪儿了？嗯，我们有

(-1 + √(1 + 72)) / 2 = (-1 + √73) / 2 = 3.77

向下取整，我们看到它在第 3 行 - 这是正确的！

再试一个，55去哪了？嗯，

(-1 + √(1 + 440)) / 2 = (√441 - 1) / 2 = 10

所以它应该在第 10 行。第十个三角形数是 T₁₀ = 55，所以实际上，55 从该行开始。看起来它有效！

【讨论】：

【解决方案3】：

我得到 row = math.floor (√(2i + 0.25) - 0.5) 其中 i 是你的号码

与上面的人基本相同，但我将 n² + n 减少到 (n + 0.5)² - 0.25

【讨论】：