递归集与递归函数

Question

递归集和递归函数有什么区别？

Answer 1

递归函数和递归集是可计算性理论中使用的术语。*对它们的定义如下：

如果有一个图灵机，给定一个数 n，如果 n 在如果 n 不在集合中，则设置并停止输出 0。如果有一个图灵机在输入 n 上停止并返回输出 f(n)，则从自然数到自身的函数 f 是递归或（图灵）可计算函数。

在这种情况下，递归函数并不意味着在编程语言中调用自身的函数。任何满足上述定义要求的数学函数都是递归函数，包括普通函数，例如恒等函数或将所有数字映射为1的函数（即无论输入如何都返回数字1）。

Answer 2

这些术语的含义因您的上下文而异。如果我们纯粹从编写程序的角度来讨论它们，那么 递归集 没有多大意义；但是，可能只是我遇到过。也就是说，递归函数是在执行过程中调用自身的函数。第n^thFibonacci number的计算是常见的经典例子：

/// <summary>A C# implementation of a function to return the nth Fibonacci number.</summary>
private static int Fibonacci(int n) {
 if (n <= 2) {
  return 1;
 } else {
  return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
 }
}

也就是说，在计算机科学尤其是计算理论的背景下，这些术语的另一个背景是在讨论 formal languages 时。在这种情况下，递归集被定义为存在可解决的成员资格问题的集合。例如，我们知道所有natural numbersℕ的集合是一个递归集合，因为我们可以定义一个递归函数如下：

让 f 定义为一个函数，其中 f(x) = 1 如果 x ∈ ℕ 并且 f(x) = 0 如果 x ∉ ℕ

递归集的概念对于可计算性的概念很重要，因为它导致了recursively enumerable set，这是一种可以被Turing machine（即Turing-recognizable）识别的语言。这些是图灵机可能无法确定给定字符串是否是语言成员的语言，或者换句话说，机器可能接受，拒绝 或 loop。 这与 Turing-decidable 语言相反，机器将进入 accept 或 reject 给定输入字符串的状态。

这正是 递归函数 的概念发挥作用的地方，因为递归函数（或总递归函数）可以由图灵机计算并在每次输入时停止。其中，部分递归函数只能为图灵机计算，而不能保证停止行为。或者本质上，递归函数是递归集的对应物。

因此，回到您最初的问题，在计算理论的上下文中，递归集是可以生成（即枚举）或通过图灵机上的递归函数测试成员资格的集合。

进一步阅读：

• M.吸管者-Introduction to the Theory of Computation (Second Edition)
• J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman - Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (Third Edition)
• 人力资源部刘易斯，C.H.帕帕迪米特里乌-Elements of the Theory of Computation (Second Edition)
• F.D.刘易斯 - Essentials of Theoretical Computer Science（数字文本）

Answer 3

也许问题应该是“为什么用‘递归’这个词来描述集合和函数？”

正如 Greg Hewgill 在他的评论中指出的那样，“绿色”这个词可以用于苹果和汽车，但这并不意味着苹果和汽车之间存在关系。

我认为来自 Wikipedia 的引用使用术语“递归”作为“可计算”的同义词——作为程序员，我们会谨慎地同意这一点，但仅限于某些情况下。