这些语言中哪一种是 NP 完全的？

Question

我正在寻找 NP 和 NP 完全问题之间的区别。我在 Jason 的 * 中找到了这个很棒的答案。关于 NP 完全问题，他说

一个 NP 问题 X，它可以在多项式时间内将任何其他 NP 问题 Y 简化为 X。直观地说，这意味着如果我们知道如何快速求解 X，我们就可以快速求解 Y。准确地说，如果有一个多项式时间算法 f 在多项式时间内将 X 的实例 x 转换为 Y 的实例 y = f(x)，则 Y 可简化为 X，并且当且仅当答案时，x 的答案是肯定的到 f(x) 是肯定的。

我的问题是：哪一个是 NP 完全问题，X 还是 Y？

Answer 1

两者兼而有之。这个过程称为 Karp 约简，关键是任何 NP 完全问题都可以在多项式时间内转化为任何其他 NP 完全问题。

然而，NP 完全问题只是 NP 问题的一个子集。 （根据我们目前的理解，如果 P=NP，它们是一回事。）

Answer 2

NP 完全语言是 X。这个想法是您可以从任意 NP 语言 Y 开始，然后在多项式时间内将其简化为 X。

形式上，NP-completeness 的定义如下：一种语言 X 称为 NP-complete iff

1. X ∈ NP。也就是说，X 不可能比“最难的 NP 问题”“更难”，因为 X 本身就是 NP 的成员。
2. 对于任何 Y ∈ NP，存在从 Y 到 X 的多项式时间映射缩减。也就是说，X“至少与 NP 中的任何问题一样难”，因为 X 的多项式时间算法给出了 Y 的多项式时间算法。顺便说一句，Y 是多项式时间可归约到 X 的事实有时表示为 Y ≤_p X。

也就是说，可以将任何 NP 完全语言简化为任何其他 NP 完全语言，因此如果 Y 多项式时间简化为 X 并且 X 是 NP 完全的，则 Y 可能（但不是必需的）是NP完全的。然而，众所周知，如果 Y 在多项式时间内减少到 X，则 Y 必须是 NP 的一个元素。

希望这会有所帮助！