NFA 到 DFA 问题

Question

首先，这不是要求算法将 NFA 转换为 DFA 的问题。

已知（并证明）一个 NFA 的等效 DFA 最多有 2ⁿ 个状态，尽管大多数时候它的状态数与 NFA 或多或少相同.

我如何预测 NFA 等效 DFA 将具有的状态数的估计值？哪种特定类型的 NFA 需要等效的 DFA 才能具有 2ⁿ 个状态？

我提出这个问题的原因是能够“发明”一些 NFA，这些 NFA 在不考虑最小化的情况下肯定会产生 2ⁿ - 1 个状态加上“死状态”。

Answer 1

进一步扩展 Jonathan Graehl 的出色回答。

为A(N) 的每个状态0, 1, ..., N 添加一个标记为c 的自循环，即添加以下转换：
0 c-> 0
1 c-> 1
...
N c-> N

然后假设 c 从未触发，则 DFA 包含与 Jonathan 的 DFA 相同的 2^(N+1) 状态。但是，每当从状态{S,j,k,...,z} <> {S} 观察到c 时，我们就会到达状态{j,k,...,z}。因此，{S,0,...,N} 的所有子集都是可能的，除了空集并且 DFA 有2^(N+2)-1 状态，而A(N) 有N+2 状态。

Answer 2

作为 N 的函数，具有起始状态 S 和最终状态 N，这个 NFA A(N):

S a-> S
S b-> S
S a-> 0 // NOTE: only "a" allows you to leave state S
0 a-> 1
0 b-> 1
1 a-> 2
1 b-> 2
...
N-1 a-> N
N-2 b-> N
N

很明显，它接受[ab]* 中倒数第N 个字母为a 的所有字符串。

A(N) 的确定必须有效地记住前面的 N-1 个字母（你需要知道那个窗口中所有 a 的位置，这样当字符串意外结束时，你可以说是否有之前是a N 个字母）。

我不确定这是否准确地达到了您想要的状态数，但至少在 2 倍以内 - {0,...,N} 的所有子集都是可能的，但您也总是在 S 中。这应该是 2^(N+1) 状态，但 A(N) 有 N+2 状态。

Answer 3

由于非确定性，状态数量激增，这是您问题的关键。

如果您采用 NFA，其中每个转换都是唯一确定的，即确定性 NFA，那么它只不过是一个正常的 DFA。但是，一旦您有可能进行两次转换的状态，它就不同于 DFA。

考虑转换算法，看看如果您有两个或多个具有相同标签的状态转换会发生什么。这就是您需要与状态集相对应的那些新状态的地方。

所以问题归结为找出这些超集状态中有多少实际上是可以到达的。当然，您可以为此发明一种奇特的算法，但要获得正确的数字，只需运行正常的转换算法并删除无法到达的状态。

对于具有 n 个状态的 NFA，其等效 DFA 具有 2^n 个状态，请考虑利用非确定性。第一个想法是将所有转换标记为相同，但是效果不太好。相反，请记住，您需要能够以某种方式到达所有状态子集，每个子​​集都带有一些标签。

如果不计算起始状态，则可以进行以下构造：创建 n 个节点，并为 2^n 中的每个集合创建一个唯一标签，并在 NFA 中为每个节点添加一个带有此标签的转换该集。这为您提供了具有 n+1 个状态的 NFA（1 是起始状态），其中 DFA 需要 2^n+1 个状态。当然，一旦你想在最小化后有 2^n 个 DFA 状态，它就会变得更加棘手。

Answer 4

好的，从假设 n -> n 开始。 现在，对于从一个状态到 x 个其他状态的每个非确定性转换，将您的估计值乘以 x。这可能不准确，因为您可能会重复计算。但它应该给你一个上限。

但是，唯一可靠的方法是构建相应的 DFA，然后计算状态（我认为）。

最后，您可能可以简化一些 DFA（以及 NFA），但这是一个全新的故事......