如何规范化有限状态机？答案

【问题标题】：How do you normalize a finite state machine?如何规范化有限状态机？
【发布时间】：2023-04-06 03:15:01
【问题描述】：

这不是家庭作业问题。我在看this lecture series，只是好奇。

【问题讨论】：

看起来像 4 个问题，但 +1 表示更不寻常的问题类型。
我认为它们都是相关的。如果我找到范式，那么这就是最小的，如果我能找到两个的范式，那么我可以证明它们是等价的。我需要一种更快的方法来规范化，并希望有更好的方法来解决每个问题。
肯定是相互关联的。一个问题？不是真的，但考虑到您的最终目标（即＃4），将它们放在一起是明智的，并且感谢您提出这样有趣的问题。我急切地等待一个答案（希望我能理解它......自从我做任何理论工作以来已经太久了......）

【解决方案1】：

由于所有非确定性 FSM 都有一个对应的确定性 FSM，因此对 1 和 2 的答案应该是相同的。

如果您想了解更多信息，请获取 Michael Sipser 的“计算理论导论”，这是一本学习这些知识的非常棒的书。 Sipser 知道他在谈论什么以及如何很好地沟通。

【讨论】：

【解决方案2】：

一些非正式的答案可以为您提供想法，有关详细证明，请阅读一本关于 Automata 的好书，例如 this one 或其他答案中提到的那些。而且我很确定您可以找到在线资料来回答您的所有问题。

该过程是消除重复状态（或合并等效状态）。你知道状态和转换是生成字符串的关键。基本上，重复的状态不会使生成的语言更大或更小。算法从总能生成lamda（空字符串）的最终状态开始，递归更新表示状态生成能力的表，最后合并没有区别的状态。

NFA 的归一化 DFA 是使用 NFA 的不同状态集合作为 DFA 的状态，例如 {state0} -(1)-> {state1, state2} 去除非确定性部分，没有避免状态爆炸的方法，因为 DFA 必须这样做才能表示语言。

我记得最好的方法是 O(NLogN)，方法是在西安大略大学教授的一些论文中重复使用信息，并且怀疑是否存在更好的方法。我相信经典的是 O(N^2)。

是的。获取最小的，通过访问字符串（可以从开始状态到达状态的字符串，这几乎是那里的状态的真实“名称”）对状态进行编码，并验证转换图。虽然可能有更好的方法，但在 bigO 上不会有太大的不同。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果给定一些确定性 FSM，则可以使用 O(n²); Hopcroft 的算法在 O(n log n) 中完成。 Here 你会发现两者的描述。您可以通过最小化 A 和 B 并检查它们是否相同来检查它们是否相等。
如果给定了一些不确定的 FSM，那么找到一个等效的最小 FSM 是 PSPACE-complete。换句话说，没有好的算法是已知的，并且推测它不存在。检查两个非确定性自动机的等价性也是 PSPACE 完备的。因此，除非出现非常不可能的突破，否则您应该将自动机转换为确定性自动机（这需要很长时间），然后执行检查。
您可以将非确定性 FSM 转换为具有指数数量状态的确定性 FSM。这是不可避免的。练习（不难！）：由末尾第 n 个字母为“a”的单词组成的语言可以使用具有 n 个状态的非确定性 FSM 来识别，而无法使用具有少于 2ⁿ 个状态的确定性 FSM。一般情况下不能打破指数界限。

【讨论】：

【解决方案4】：

从第 2.5 节开始检查“编译器设计基础”。可在线免费使用。 http://www.diku.dk/hjemmesider/ansatte/torbenm/Basics/basics_lulu.pdf

它包括将 NFA 转换为 DFA 并最小化 DFA。 NFA 在转换为 DFA 后可以呈指数级增长。

"...任何常规语言（一种语言可以用正则表达式 NFA 或 DFA 表示的）具有唯一性最小 DFA。因此，我们可以确定正则表达式的等价性（或 NFA 或 DFA）通过将两者都转换为最小 DFA 并比较结果。”

【讨论】：