不动点理论和 isGoodEnough 函数

Question

在 Coursera 课程 Functional Programming Principles in Scala 中，讲师谈到了 Fixed Point 并编写了一些简单的实现。

def isCloseEnough(x: Double, y: Double) = 
    math.abs((x - y) / x) / x < tolerance

def fixedPoint(f: Double => Double)(guess: Double) = {

    def iterate(guess: Double): Double = {
        val next = f(guess)
        if (isCloseEnough(guess, next)) next
        else iterate(next)
    }
    iterate(guess)
}   

这样的实现将允许以下函数f(x) = 1 + x 有一个不动点。

但是，这不应该永远发生。 就像在这个函数图中：

这就是维基百科所说的：

并非所有函数都有固定点：例如，如果 f 是一个函数 在实数上定义为 f(x) = x + 1，则它没有固定的 点，因为对于任何实数，x 永远不会等于 x + 1。

这里的重点在于isCloseEnough，我不明白为什么要这样写。

我来这里是为了了解isCloseEnough 以及它为何以这种方式实施 就是这样。

Answer 1

算法并不完美，它显然应该取决于您选择的容差。如果我们检查isCloseEnough：

def isCloseEnough(x: Double, y: Double) = 
    math.abs((x - y) / x) / x < tolerance

真的很像：

| x - y | / x^2 < tolerance

除了由于某种原因它没有取x的外除的绝对值，这在x为负时完全破坏了算法。

这个想法是，我们通过找到一个与f(x)任意接近的x 来找到一个固定点，即x 和f(x) 之间的差异很小如我们所愿（低于某些公差）。如果我们可以快速找到固定点，这很好用：

scala> fixedPoint(math.sqrt)(2)
res2: Double = 1.0000846162726942

这里，固定点是x = 1，其中math.sqrt(1) = 1。我用tolerance = 0.0001。如果我使用更小的东西，我显然会更接近固定点1。

但现在说我有：

def f(x: Double): Double = x + 1

scala> fixedPoint(f)(1)
res4: Double = 102.0

它找到一个大约为102.0 的不动点。显然，这是错误的，但这是因为 x 和 f(x) 之间的差异总是 1 对于这个函数，并且随着 x 变大，1 / x^2 变小并且小到低于tolerance。如果我把tolerance 变小，我会找到一个更大的不动点。

val tolerance = 0.000000001

scala> fixedPoint(f)(1)
res5: Double = 31624.0

这显然也是错误的。但关键是，对于一个固定点，我应该能够使tolerance 任意小，并且仍然得到一致的结果。有了这个函数，很明显对于任何固定的tolerance，最终1 / x^2都会比它小。 但是，对于任何x，我总是可以选择一个足够小的tolerance，这样1 / x^2 总是会落在它之外，所以没有固定点。

这几乎不是数学证明，但关键是该算法在某些标准上存在缺陷。