阶乘算法和 P/NP

Question

很容易看出 n!比几乎任何 N 次幂（例如 100^N）都慢，因此，如果一个问题被认为是 NP 完全的并且一个问题发生在 n 上！近似解的算法，人们会跳史努比舞。

我对这种情况有 2 个问题：

1. n!算法被认为是多项式时间内的解决方案？阶乘肯定不会被提升为幂。
2. 如果找到 n!解决方案意味着我们有一个相当快的算法，因为 n!增长快于 2^N，那么这是否意味着某些 NP 完全问题不需要启发式/逼近算法（晦涩的情况除外）？

当然，这两个问题依赖于第一段的真实性；如果我错了，请告诉我。

Answer 1

1. 没有。阶乘时间不是多项式时间。多项式时间通常表示 O(N^k) 形式的方程，其中 N = 正在处理的项目数，k = 某个常数。重要的部分是指数是一个常数——你将 N 乘以它自己，其中一些是固定的——不依赖于 N 本身。阶乘复杂度算法意味着乘法的数量不是固定的——乘法的数量本身会随着 N 增长。

2. 您似乎在这里遇到了同样的问题。 N² 将是多项式复杂度。 2^N 不会。您的基本规则也是错误的——阶乘复杂度算法不意味着“我们有一个相当快的算法”，至少作为一般规则。如果有的话，结论恰恰相反：阶乘算法在一些特殊情况下可能是实用的（即 N 非常小），但随着 N 的增长，非常很快就会变得不实用。

让我们试着正确看待这一点。二进制搜索是 O(log N)。线性搜索是 O(N)。在排序中，“慢”算法是 O(N²)，“高级”算法是 O(N lg N)。阶乘复杂度（很明显）是 O(N!)。

让我们试着给出一些数字，考虑（目前）只有 10 个项目。这些中的每一个将大致是处理 10 个项目而不是 1 个项目的处理时间的多少倍：

O(log N): 2
O(N):10
O(N log N): 23
O(N²): 100
O（N！）：3,628,800

目前我有点作弊，并使用自然对数而不是以 2 为底的对数，但我们只是在这里尝试进行大致估计（无论如何，差异都是一个相当小的常数因子）。

如您所见，阶乘复杂度算法的增长率比其他任何算法都快很多。如果我们将其扩展到 20 项，则差异会更加显着：

O(log N): 3
O(n): 20
O(N log N): 60
O(N²): 400
O(N!): 2,432,902,008,176,640,000

N! 的增长率！速度如此之快，几乎可以保证它们是不切实际的，除非涉及的项目数量已知非常少。对于 grins，我们假设上述进程的基本操作都可以在单个机器时钟周期内运行。只是为了争论（并保持计算简单），让我们假设一个 10 GHz CPU。因此，基础是处理一项需要 0.1 ns。在这种情况下，有 20 个项目：

O(log N) = .3 ns
O(N) = 2 ns
O(N log N) = 6 ns
O(N²) = 40 ns
O(N!) = 7.7 年。

Answer 2

很容易看出阶乘在行为上是（大约）指数级的。

它可以（非常粗略地）近似为 nⁿ（更具体地说，是 sqrt(2πn)(n/e)ⁿ）。

因此，如果您发现任何特定的 M，您认为 Mⁿ 是一个很好的近似值，那么您（可能）错了。 269！大于 100ⁿ 并且作为 n!将乘以大于 100 的数字，它会继续增长得更快。