硬币数量有限的硬币变化

Question

我编写了一个程序来生成子集总和，它可能会用于这个问题，它指出：

假设，你有 3 个 1 美元硬币，2 个 2 美元硬币、3 个 5 美元硬币、1 个 10 美元硬币、 有 4 种方法可以获得 10 美元 那些硬币。如果有 n1 $X1 硬币，n2 $X2 硬币.... nm $Xm 硬币， 我们可以通过多少种方式获得 $X 这些硬币数量有限？

如果我们创建一组 { X1, X1..... X1, X2, X2.......... X2, ..., ..., .... ....., Xm, Xm... Xm}，然后对它运行子集求和，当然我们可以得到 $X 的结果。 但我找不到使用集合 {n1, n2, n3.... nm} , {X1, X2, X3.... Xm} 的方法。 一个朋友告诉我这是背包问题的变体，但我不确定如何。

这是我写的部分代码：

ways[0]=1, mylim=0;
for(i=0;i<count;i++){
    if(mylim+coins[i]<=LIMIT) mylim+=coins[i];
    else mylim=LIMIT;

    for(j=mylim; j>=coins[i];j--){
        ways[j]=(ways[j]+ways[j-coins[i]])%MOD;
    }
}

如果你能详细解释一下，我会很好。

编辑： 这个问题更适合计算机科学的stackexchange，但由于这是我的一个老问题，我宁愿在这里编辑它。

这个问题可以通过包含排除原则来解决，当我们有固定硬币值但每个硬币的数量随每次查询而变化时，它会派上用场。

假设，ways[v]是用$x1，$x2制作$v的方法， .. $xm，每个都可以根据需要多次使用。现在，如果我们只使用 n1 个 $x1，我们必须使用至少 (n1 + 1) 个$x1 （实际上是 ways[v - (n1 + 1)x1] ）。此外，如果我们只使用 n2 个 $x2 个数，我们必须减去 ways[v - (n2 + 1) x2] 以及等等。

现在，我们已经两次减去至少 (n1 + 1) $x1 和 (n2 + 1) $x2 被使用，因此我们需要添加 ways[v -(n1 + 1)x1 - (n2 + 1)x2] 等。

特别是，如果，

N = 尽可能多地使用所有硬币的一组配置，

Ai = 一组配置，其中至少使用了 ni + 1 个 $xi，对于 1 i m，然后

我们正在寻找的结果 = |N| - |A1| - |A2| .. - |我| + |A1 和 A2| + |A1 和 A3| + ... - |A1 和 A2 和 A3| .....

计算无限硬币配置数量的代码实际上更简单：

ways[0]=1;
for( int i = 0 ; i < count ; i++){
    for( int j = coins[i] ; j < ways.size() ; j++ ){
        ways[j] += ways[j-coins[i]];
    }
}

Answer 1

假设你所有的ni 都是1。

让ways[j] = number of ways of obtaining sum j.

你可以这样计算（这就是你正在做的，但我不知道你为什么将你的变量命名为primes）。

ways[0] = 1
for i = 1 to m do
    for j = myLim downto X[i] do
        ways[j] += ways[j - X[i]];

这意味着您只使用价值Xi 的每个硬币一次。您可以添加另一个循环来使用它至少一次，最多 ni 次：

ways[0] = 1
for i = 1 to m do
    for times = 1 to n[i] do // use Xi one time, then two times, then three, ..., then ni
        for j = myLim downto times*X[i] do
            ways[j] += ways[j - times*X[i]];

你仍然可以应用你的模数并计算你的极限，为了简单起见，我把它们省略了。

Answer 2

这个问题被命名为“硬币问题”并且已知是 NP-hard。

你可以了解一下here.