矩阵链乘法和一些不同的问题？

Question

我们知道矩阵链乘法问题。我的教授解决了一个很接近的问题：

我们想找到一个矩阵乘法的顺序，使得 中间矩阵中的元素（在生产的所有步骤中计算）是 最小化（我们称之为生产成本）。我们有 A_1*A_2*A_3*...* A_n 和维度 A_i 在 d_{i-1} 和 d_i 上。 C_{ij} = 最小生产成本 A_i*...*A_j 子问题和 C_{ii}=0。他说 解决这个问题的关系是：

C_{ij}=min i<=k < j  max{C_{ik}, C_{k+1,j}, d_{i-1}*d_j}

我无法理解，这种关系背后的想法是什么？怎么能帮助我？

Answer 1

假设我们想要最小化C(i, j)。我们可以选择什么？我们可以选择我们将执行的 last 乘法的位置。当它固定时，我们有两个独立的子问题（最后一个乘法之前的所有内容和之后的所有内容）。所以等式C_{ij}=min i<=k < j max{C_{ik}, C_{k+1,j}, d_{i-1}*d_j}用简单的英文表示：

1. 让我们选择最后一个乘法的位置并表示它是k。

2. 让我们解决两个子问题：一个用于(i, k)，另一个用于(k + 1, j)。

3. 对于固定的k，答案是这两个子问题的结果中的最大值以及我们在将(i, j)范围内的所有矩阵相乘后得到的最终矩阵的大小（即d_{i-1}*d_j，并且不依赖于乘法的顺序）。

4. 我们想要最小化结果，所以我们选择所有有效k中的最小值。

就是这样。